Задание 1. Из посёлка Звёздный со скоростью 20 км/ч выехал велосипедист. Через час в том же направлении со скоростью 40 км/ч выехал мотоциклист, а ещё через час со скоростью 60…

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на этапы и найдем нужные расстояния.

Шаг 1: Определим расстояния, пройденные велосипедистом и мотоциклистом

1. Велосипедист:

   • Выехал первым со скоростью 20 км/ч.
   • Он выехал на 1 час раньше мотоциклиста, значит, проехал: \[ D_{\text{вел}} = v_{\text{вел}} \times t = 20 \, \text{км/ч} \times 1 \, \text{ч} = 20 \, \text{км} \]
   • После этого велосипедист проезжает время до момента поломки автомобиля.

2. Мотоциклист:

   • Выехал через 1 час после велосипедиста со скоростью 40 км/ч.
   • Если обозначим время с момента выезда мотоциклиста до поломки автомобиля как \(t_m\) часов, то расстояние, пройденное мотоциклистом будет: \[ D_{\text{мото}} = v_{\text{мото}} \times t_m = 40 \, \text{км/ч} \times t_m \]
   • Таким образом, на момент поломки автомобиля, мотоциклист проехал \(D_{\text{мото}} = 40t_m\) км.

Шаг 2: Определим расстояние, пройденное автомобилистом

3. Автомобилист:
   • Выехал через 2 часа после велосипедиста со скоростью 60 км/ч.
   • Если обозначим время с момента выезда автомобилиста до поломки автомобиля как \(t_a\) часов, тогда расстояние, пройденное автомобилистом будет: \[ D_{\text{авто}} = v_{\text{авто}} \times t_a = 60 \, \text{км/ч} \times t_a \]

Шаг 3: Связь между временами

Теперь давайте установим связь между \(t_m\) и \(t_a\). Поскольку автомобилист выехал на 2 часа позже велосипедиста:

• Время, прошедшее с момента выезда велосипедиста до поломки автомобиля = \(t_m + 1 + t_a\).

Зная это, мы можем выразить \(t_a\) через \(t_m\): \[ t_m + 1 + t_a = 2 + t_a \implies t_m + 1 = 2 + t_a \implies t_m - t_a = 1 \]

Шаг 4: Условие на расстояния

Согласно условию задачи, в момент поломки сумма расстояний от автомобиля до мотоциклиста и до велосипедиста не превышала 20 км: \[ |D_{\text{авто}} - D_{\text{мото}}| + |D_{\text{авто}} - D_{\text{вел}}| \leq 20 \, \text{км} \]

Подставляем все расстояния:

1. \(D_{\text{вело}} = 20 + 20t_a\) (где \(t_a\) – это время после выезда автомобилиста).
2. \(D_{\text{мото}} = 40(t_a + 1)\) – расстояние мотоциклиста на время поломки.
3. \(D_{\text{авто}} = 60t_a\)

Шаг 5: Применение условий задачи

Поскольку расстояние от автомобиля и мотоциклиста: \[ D_{\text{авто}} - D_{\text{мото}} \leq 20 \implies 60t_a - 40(t_a + 1) \leq 20 \]

Разберем это уравнение: \[ 60t_a - 40t_a - 40 \leq 20 \implies 20t_a \leq 60 \implies t_a \leq 3 \]

Следовательно, максимальное расстояние, которое успел проехать автомобилист при поломке, равно: \[ D_{\text{авто}} = 60t_a \quad \text{(где } t_a = 3 \text{ т.е. максимум)} \]

Итог

Таким образом, автомобилист успел проехать максимум: \[ D_{\text{авто}} = 60 \times 3 = 180 \text{ км.} \]

Этим путем, мы смогли определить максимум, что успел проехать автомобилист до поломки.