Для того чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на этапы и найдем нужные расстояния.
Шаг 1: Определим расстояния, пройденные велосипедистом и мотоциклистом
Велосипедист:
- Выехал первым со скоростью 20 км/ч.
- Он выехал на 1 час раньше мотоциклиста, значит, проехал:
[
D_{\text{вел}} = v_{\text{вел}} \times t = 20 , \text{км/ч} \times 1 , \text{ч} = 20 , \text{км}
]
- После этого велосипедист проезжает время до момента поломки автомобиля.
Мотоциклист:
- Выехал через 1 час после велосипедиста со скоростью 40 км/ч.
- Если обозначим время с момента выезда мотоциклиста до поломки автомобиля как (t_m) часов, то расстояние, пройденное мотоциклистом будет:
[
D_{\text{мото}} = v_{\text{мото}} \times t_m = 40 , \text{км/ч} \times t_m
]
- Таким образом, на момент поломки автомобиля, мотоциклист проехал (D_{\text{мото}} = 40t_m) км.
Шаг 2: Определим расстояние, пройденное автомобилистом
- Автомобилист:
- Выехал через 2 часа после велосипедиста со скоростью 60 км/ч.
- Если обозначим время с момента выезда автомобилиста до поломки автомобиля как (t_a) часов, тогда расстояние, пройденное автомобилистом будет:
[
D_{\text{авто}} = v_{\text{авто}} \times t_a = 60 , \text{км/ч} \times t_a
]
Шаг 3: Связь между временами
Теперь давайте установим связь между (t_m) и (t_a). Поскольку автомобилист выехал на 2 часа позже велосипедиста:
- Время, прошедшее с момента выезда велосипедиста до поломки автомобиля = (t_m + 1 + t_a).
Зная это, мы можем выразить (t_a) через (t_m):
[
t_m + 1 + t_a = 2 + t_a \implies t_m + 1 = 2 + t_a \implies t_m - t_a = 1
]
Шаг 4: Условие на расстояния
Согласно условию задачи, в момент поломки сумма расстояний от автомобиля до мотоциклиста и до велосипедиста не превышала 20 км:
[
|D_{\text{авто}} - D_{\text{мото}}| + |D_{\text{авто}} - D_{\text{вел}}| \leq 20 , \text{км}
]
Подставляем все расстояния:
- (D_{\text{вело}} = 20 + 20t_a) (где (t_a) – это время после выезда автомобилиста).
- (D_{\text{мото}} = 40(t_a + 1)) – расстояние мотоциклиста на время поломки.
- (D_{\text{авто}} = 60t_a)
Шаг 5: Применение условий задачи
Поскольку расстояние от автомобиля и мотоциклиста:
[
D_{\text{авто}} - D_{\text{мото}} \leq 20 \implies 60t_a - 40(t_a + 1) \leq 20
]
Разберем это уравнение:
[
60t_a - 40t_a - 40 \leq 20 \implies 20t_a \leq 60 \implies t_a \leq 3
]
Следовательно, максимальное расстояние, которое успел проехать автомобилист при поломке, равно:
[
D_{\text{авто}} = 60t_a \quad \text{(где } t_a = 3 \text{ т.е. максимум)}
]
Итог
Таким образом, автомобилист успел проехать максимум:
[
D_{\text{авто}} = 60 \times 3 = 180 \text{ км.}
]
Этим путем, мы смогли определить максимум, что успел проехать автомобилист до поломки.
