Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором стороны относятся как 5 : 12 : 13, а периметр равен 90.

Чтобы решить задачу, начнем с понимания отношения сторон прямоугольного треугольника.

В данном случае стороны треугольника относятся как 5 : 12 : 13. Это отношение соответствует известной тройке чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(c\) — это гипотенуза. Проверим это:

1. Пусть стороны треугольника равны \(5k\), \(12k\) и \(13k\), где \(k\) — это коэффициент пропорциональности.

2. Тогда периметр \(P\) треугольника можно выразить следующим образом: \[ P = 5k + 12k + 13k = 30k \] По условию задачи, периметр равен 90, значит: \[ 30k = 90 \] Отсюда: \[ k = \frac{90}{30} = 3 \]

3. Теперь подставим значение \(k\) для нахождения длин сторон треугольника:

   • Первая сторона: \(5k = 5 \cdot 3 = 15\)
   • Вторая сторона: \(12k = 12 \cdot 3 = 36\)
   • Гипотенуза: \(13k = 13 \cdot 3 = 39\)

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны 15, 36 и 39.

Проверка по теореме Пифагора

Чтобы убедиться, что треугольник действительно прямоугольный, проверим теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \(a = 15\), \(b = 36\) и \(c = 39\).

Теперь рассчитаем: \[ 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521 \] \[ 39^2 = 1521 \]

Так как \(15^2 + 36^2 = 39^2\), условие теоремы Пифагора выполняется, и треугольник действительно прямоугольный.

Ответ

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39.