решите неравенство log⅓(x²-2x+1)</= -2
Для решения неравенства \( \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x + 1) \leq -2 \) начнем с анализа логарифмической функции и ее свойств.
Преобразуем логарифмическое неравенство:
Мы знаем, что логарифм с основанием меньше 1 (в данном случае \( \frac{1}{3} \)) меняет знак неравенства. Поэтому мы можем записать:
\[ x^2 - 2x + 1 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \]
Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \):
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 \]
Таким образом, неравенство принимает вид:
\[ x^2 - 2x + 1 \geq 9 \]
Переносим всё в одну часть:
\[ x^2 - 2x + 1 - 9 \geq 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 \geq 0 \]
Находим корни квадратного уравнения:
Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Определяем знаки области:
Мы имеем корни \( x = 4 \) и \( x = -2 \). Теперь мы определим промежутки, на которых выражение \( x^2 - 2x - 8 \geq 0 \):
- Область 1: \( (-\infty, -2) \)
- Область 2: \( (-2, 4) \)
- Область 3: \( (4, +\infty) \)
Мы проверим знак выражения \( x^2 - 2x - 8 \) на этих промежутках:
Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 \quad (\text{положительное}) \]
Для \( -2 < x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 2(0) - 8 = -8 \quad (\text{отрицательное}) \]
Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ 5^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 \quad (\text{положительное}) \]
Записываем решение:
Таким образом, \( x^2 - 2x - 8 \geq 0 \) на промежутках \( (-\infty, -2] \) и \( [4, +\infty) \).
Ответ:
Финальное решение неравенства:
\[ x \in (-\infty, -2] \cup [4, +\infty) \]
Таким образом, мы рассмотрели все шаги для решения данного неравенства, проанализировали свойства логарифма, преобразовали его с учетом знака и нашли значения, удовлетворяющие условию.
