Решите неравенство log⅓(x²-2x+1)

Для решения неравенства \( \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x + 1) \leq -2 \) начнем с анализа логарифмической функции и ее свойств. 1. **Преобразуем логарифмическое неравенство:** Мы знаем, что логарифм с основанием меньше 1 (в данном случае \( \frac{1}{3} \)) меняет знак неравенства. Поэтому мы можем записать: \[ x^2 - 2x + 1 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \] Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \): \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 \] Таким образом, неравенство принимает вид: \[ x^2 - 2x + 1 \geq 9 \] 2. **Переносим всё в одну часть:** \[ x^2 - 2x + 1 - 9 \geq 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 \geq 0 \] 3. **Находим корни квадратного уравнения:** Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Теперь находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] 4. **Определяем знаки области:** Мы имеем корни \( x = 4 \) и \( x = -2 \). Теперь мы определим промежутки, на которых выражение \( x^2 - 2x - 8 \geq 0 \): - Область 1: \( (-\infty, -2) \) - Область 2: \( (-2, 4) \) - Область 3: \( (4, +\infty) \) Мы проверим знак выражения \( x^2 - 2x - 8 \) на этих промежутках: - Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 \quad (\text{положительное}) \] - Для \( -2 < x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 2(0) - 8 = -8 \quad (\text{отрицательное}) \] - Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ 5^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 \quad (\text{положительное}) \] 5. **Записываем решение:** Таким образом, \( x^2 - 2x - 8 \geq 0 \) на промежутках \( (-\infty, -2] \) и \( [4, +\infty) \). 6. **Ответ:** Финальное решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -2] \cup [4, +\infty) \] Таким образом, мы рассмотрели все шаги для решения данного неравенства, проанализировали свойства логарифма, преобразовали его с учетом знака и нашли значения, удовлетворяющие условию.