Построить графики функций: 1) у = х² + 2х – 3;

Чтобы построить график функции \( y = x^2 + 2x - 3 \), давайте пройдемся по нескольким шагам, чтобы понять процесс:

Шаг 1: Определяем вид функции

Данная функция является квадратичной, так как она имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 1 \)
• \( b = 2 \)
• \( c = -3 \)

Шаг 2: Найдем координаты вершинной точки

Формула для нахождения координаты \( x \) вершины параболы (графика квадратичной функции) даётся следующим образом: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения: \[ x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \]

Теперь найдем значение \( y \) в этой точке, подставив \( x = -1 \) в уравнение функции: \[ y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-1, -4) \).

Шаг 3: Определим нули функции (пересечения с осью \( x \))

Для нахождения нулей функции решим уравнение: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Теперь находим два корня: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \] Таким образом, нули функции находятся в точках \( (1, 0) \) и \( (-3, 0) \).

Шаг 4: Определим значение функции при нескольких \( x \)

Чтобы построить более точный график, полезно выбрать несколько значений \( x \) и найти соответствующие значения \( y \):

• \( x = -3 \): \[ y = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \quad \text{(уже нашли)} \]
• \( x = -2 \): \[ y = (-2)^2 + 2(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \]
• \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3 \]
• \( x = 1 \): \[ y = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \quad \text{(уже нашли)} \]
• \( x = 2 \): \[ y = 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \]

Теперь мы имеем следующие точки:

• \( (-3, 0) \)
• \( (-2, -3) \)
• \( (-1, -4) \)
• \( (0, -3) \)
• \( (1, 0) \)
• \( (2, 5) \)

Шаг 5: Построение графика

Теперь, используя полученные точки, можем построить график. Парабола будет открываться вверх (так как \( a > 0 \)), и вершина будет находиться в \( (-1, -4) \). Нули функции обозначат точки пересечения графика с осью \( x \), а величина функции при \( x = 0 \) показывает, что график пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -3) \).

Построив все точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции \( y = x^2 + 2x - 3 \).

Вывод

График функции \( y = x^2 + 2x - 3 \) представляет собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке \( (-1, -4) \) и пересечением с осью \( x \) в точках \( (-3, 0) \) и \( (1, 0) \).