Помогите

Давайте разберём решение неравенства \(4(x - 3) \leq -x^2\) методом интервалов.

Шаг 1: Упростим неравенство

Перенесём все члены в одну часть:

\[ 4(x - 3) + x^2 \leq 0 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 4x - 12 + x^2 \leq 0 \]

Что эквивалентно:

\[ x^2 + 4x - 12 \leq 0 \]

Шаг 2: Найдём корни квадратного трёхчлена

Для этого используем дискриминант. Напомним формулу:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -12\):

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]

Находим корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{2} \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6 \]

Шаг 3: Метод интервалов

Рассмотрим интервалы, которые определяются найденными корнями: \((- \infty, -6)\), \((-6, 2)\), \((2, +\infty)\).

Подставим тестовые точки из каждого интервала в выражение \(x^2 + 4x - 12\) и определим знак:

1. Интервал \((- \infty, -6)\): выберем \(x = -7\) \((-7)^2 + 4(-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0\)

2. Интервал \((-6, 2)\): выберем \(x = 0\) \(0^2 + 4 \cdot 0 - 12 = -12 < 0\)

3. Интервал \((2, +\infty)\): выберем \(x = 3\) \(3^2 + 4 \cdot 3 - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 > 0\)

Вывод:

Неравенство выполняется на интервале \((-6, 2)\).

Ответ:

\[x \in [-6, 2]\]