радиус основания конуса 6, радиус вписанной в него сферы равен 3. вычислите площадь осевого сечения конуса.
Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что такое осевое сечение конуса и как его можно вычислить. Осевое сечение конуса — это вертикальное сечение, проведенное через его ось, которое представляет собой трапецию.
Данные задачи:
- Радиус основания конуса \( R = 6 \).
- Радиус вписанной сферы (глобус, вписанный в конус) \( r = 3 \).
Высота конуса: Важно знать, как связаны радиус основания, высота и радиус вписанной сферы. Формула находимая с использованием радиуса вписанной сферы конуса выглядит следующим образом: \[ r = \frac{R \cdot h}{R + \sqrt{R^2 + h^2}} \] где \( h \) — высота конуса.
Подставим известные значения в формулу и выразим \( h \): \[ 3 = \frac{6 \cdot h}{6 + \sqrt{6^2 + h^2}} \]
Умножим обе стороны на \( 6 + \sqrt{6^2 + h^2} \): \[ 3(6 + \sqrt{36 + h^2}) = 6h \] Упростим уравнение: \[ 18 + 3\sqrt{36 + h^2} = 6h \] Переносим все к одной стороне: \[ 3\sqrt{36 + h^2} = 6h - 18 \] Разделим все на 3: \[ \sqrt{36 + h^2} = 2h - 6 \] Возводим обе части в квадрат: \[ 36 + h^2 = (2h - 6)^2 \] Раскрываем скобки: \[ 36 + h^2 = 4h^2 - 24h + 36 \] Убираем 36 из обеих сторон: \[ h^2 = 4h^2 - 24h \] Переносим все на одну сторону: \[ 0 = 3h^2 - 24h \] Факторизуем: \[ 0 = 3h(h - 8) \] Решение: \[ h = 0 \quad \text{или} \quad h = 8 \]
Поскольку \( h = 0 \) не имеет физического смысла, мы принимаем: \[ h = 8 \]
Площадь осевого сечения конуса: Теперь мы можем найти площадь осевого сечения. Осевое сечение конуса представляет собой трапецию, у которой основание равное 12 (двойной радиус основания) и высота равная \( 8 \).
Поскольку для трапеции \[ A = \frac{(a + b) h}{2} \] где:
- \( a \) и \( b \) — это основания, которые равны диаметру основания конуса (2R).
- \( h \) — это высота, равная \( h \).
Подставляя значения:
- \( a = 12 \)
- \( b = 0 \) (так как второго основания у нас нет, мы используем только одно)
Подсчет по формуле находит площадь: \[ A = \frac{(12 + 0) \cdot 8}{2} = \frac{96}{2} = 48 \]
Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна \( 48 \) квадратных единиц.
