Найдите натуральное число,квадрат которого на 56 больше самого числа.

Давайте обозначим искомое натуральное число как \( x \). Согласно условию задачи, мы имеем:

\[ x^2 = x + 56. \]

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

\[ x^2 - x - 56 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) этого уравнения равен:

\[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), и \( c = -56 \). Подставим значения:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225. \]

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставляем значения:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 15}{2}. \]

Это дает нам два корня:

1. \( x_1 = \frac{16}{2} = 8 \),
2. \( x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \).

Так как нас интересует только натуральное число, то мы принимаем \( x = 8 \).

Таким образом, искомое натуральное число — это \( 8 \).