Найдите ,tg(a+B),если известно ,что cosa =⅗ cosB=7/25 ,где a и B -углы 1 четверти

Для решения задачи нам необходимо найти \(\tan(a + B)\), используя известные значения \(\cos a\) и \(\cos B\). Напомним, что в первой четверти углы имеют положительные значения косинуса и синуса. 1. **Используем формулу для тангенса суммы углов:** \[ \tan(a + B) = \frac{\tan a + \tan B}{1 - \tan a \tan B} \] 2. **Найдем \(\tan a\) и \(\tan B\):** Сначала найдем \(\sin a\) и \(\sin B\) с использованием теоремы Пифагора: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \quad \Rightarrow \quad \sin a = \frac{4}{5} \] Аналогично для угла \(B\): \[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 B + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 B + \frac{49}{625} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 B = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \quad \Rightarrow \quad \sin B = \frac{24}{25} \] 3. **Теперь найдем тангенсы:** \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] \[ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} \] 4. **Подставим значения в формулу для \(\tan(a + B)\):** Теперь подставим значения \(\tan a\) и \(\tan B\) в формулу: \[ \tan(a + B) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{24}{7}}{1 - \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{24}{7}\right)} \] 5. **Находим общий знаменатель для суммы:** Общий знаменатель для \(\frac{4}{3}\) и \(\frac{24}{7}\) равен \(21\): \[ \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{28}{21}, \quad \frac{24}{7} = \frac{24 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{72}{21} \] \[ \tan(a + B) = \frac{\frac{28}{21} + \frac{72}{21}}{1 - \left(\frac{4 \cdot 24}{3 \cdot 7}\right)} = \frac{\frac{100}{21}}{1 - \frac{96}{21}} \] 6. **Упрощаем знаменатель:** \(1\) можно записать как \(\frac{21}{21}\): \[ \tan(a + B) = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{21}{21} - \frac{96}{21}} = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{21 - 96}{21}} = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{-75}{21}} = \frac{100}{-75} = -\frac{4}{3} \] Таким образом, \(\tan(a + B) = -\frac{4}{3}\).