Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где (S) — площадь, (a) и (b) — катеты. В нашем случае (S = 180) м².
По условию задачи один катет больше другого на 31 м. Обозначим меньший катет как (x), тогда больший катет будет (x + 31).
Подставим эти значения в формулу для площади:
[
180 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 31)
]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
[
360 = x \cdot (x + 31)
]
Раскроем скобки:
[
360 = x^2 + 31x
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
x^2 + 31x - 360 = 0
]
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае (a = 1), (b = 31), (c = -360):
[
x = \frac{-31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360)}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{-31 \pm \sqrt{961 + 1440}}{2}
]
[
x = \frac{-31 \pm \sqrt{2401}}{2}
]
[
x = \frac{-31 \pm 49}{2}
]
Решения:
- (x = \frac{18}{2} = 9)
- (x = \frac{-80}{2} = -40) (это решение не подходит, так как катет не может быть отрицательным)
Таким образом, меньший катет (x = 9) м, а больший катет:
[
x + 31 = 9 + 31 = 40\text{ м}.
]
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 9 м и 40 м.
