Площадь прямоугольного треугольника равна 180 м в квадрате.найдите катеты этого треугольника,если один больше другого на 31 м.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \(S\) — площадь, \(a\) и \(b\) — катеты. В нашем случае \(S = 180\) м².
По условию задачи один катет больше другого на 31 м. Обозначим меньший катет как \(x\), тогда больший катет будет \(x + 31\).
Подставим эти значения в формулу для площади:
\[ 180 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 31) \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 360 = x \cdot (x + 31) \]
Раскроем скобки:
\[ 360 = x^2 + 31x \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ x^2 + 31x - 360 = 0 \]
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = 31\), \(c = -360\):
\[ x = \frac{-31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-31 \pm \sqrt{961 + 1440}}{2} \] \[ x = \frac{-31 \pm \sqrt{2401}}{2} \] \[ x = \frac{-31 \pm 49}{2} \]
Решения:
- \(x = \frac{18}{2} = 9\)
- \(x = \frac{-80}{2} = -40\) (это решение не подходит, так как катет не может быть отрицательным)
Таким образом, меньший катет \(x = 9\) м, а больший катет:
\[ x + 31 = 9 + 31 = 40\text{ м}. \]
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 9 м и 40 м.
