Самостоятельная работа «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника» Вариант 1 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108". Найдите два других угла…

Давайте разберем каждую задачу по очереди, предоставляя детальные решения и объяснения.

Задача 1

Условие: Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°. Найдите два других угла треугольника.

Решение:

1. Обозначим углы треугольника как A, B и C. В равнобедренном треугольнике два угла равны.
2. Пусть А = 108° (это один из углов, given).
3. Поскольку треугольник имеет сумму углов 180°, мы можем записать уравнение: \[ A + B + C = 180° \] Подставляем A: \[ 108° + B + C = 180° \]
4. Так как треугольник равнобедренный и два угла равны, можно записать: \( B = C \).
5. Таким образом, подставляем: \[ 108° + 2B = 180° \]
6. Выразим B: \[ 2B = 180° - 108° = 72° \] \[ B = \frac{72°}{2} = 36° \]
7. Итак, два других угла равны: \[ B = C = 36°. \]

Ответ: Углы равны 36° и 36°.

Задача 2

Условие: ΔKLM, угол L = 73°, проведена биссектриса KF, угол KFL = 65°. Найдите угол ZM.

Решение:

1. В треугольнике KLF угол L = 73°, угол KFL = 65°.
2. Чтобы найти угол KLF, мы можем воспользоваться свойством суммы углов треугольника: \[ U + K + F = 180° \] где U - угол KLF.
3. Подставляем известные углы: \[ U + 65° + 73° = 180° \] \[ U + 138° = 180° \]
4. Выразим угол KLF: \[ U = 180° - 138° = 42°. \]
5. Теперь, поскольку KF - биссектрисы, угол KFM равен углу KFL. Таким образом, угол ZM, который равен углу KFM, равен: \[ ZM = 65°. \]

Ответ: Угол ZM равен 65°.

Задача 3

Условие: В ДАВС AB = BC, угол B = 80°. Биссектрисы АК и СМ пересекаются в точке М. Найдите угол МК.

Решение:

1. Поскольку AB = BC, треугольник ABC равнобедренный. Углы ABC и ACB равны.
2. Обозначим угол ACB как \( x \). Тогда: \[ 80° + x + x = 180°, \] подставляя: \[ 2x = 180° - 80° = 100°. \] \[ x = 50°. \]
3. Следовательно, угол ACB = 50°, угол CBA также равен 50°.
4. Теперь для нахождения угла MKB (угол, образованный биссектрисой АК) используем: \[ \angle AKB = \frac{1}{2} (80° + 50°) = 65°. \]
5. Теперь длина угла МК: \[ \angle МК = \angle CMB = 50° (находится также через сумму углов CBA и AKM). \]

Ответ: Угол МК равен 50°.

Задача 4

Условие: Сторона AB треугольника АВС продолжена до точки D так, что BC = BD. Найдите угол ACD, если угол ACB = 60°, угол ABC = 70°.

Решение:

1. В треугольнике ABC, согласно данным, угол ACB = 60°, угол ABC = 70°.
2. Найдем угол BAC (угол A): \[ A + 60° + 70° = 180°, \] \[ A = 180° - 130° = 50°. \]
3. Поскольку точка D такая, что BC = BD, треугольник BCD равнобедренный.
4. Таким образом, угол BDC = угол BCD. Обозначим угол BDC как x, тогда: \[ 70° + 60° + x + x = 180° \] \[ 130° + 2x = 180° \Rightarrow 2x = 50° \Rightarrow x = 25°. \]
5. Теперь находим угол ACD. Угол ACD = угол BAC + угол BDC: \[ \angle ACD = 50° + 25° = 75°. \]

Ответ: Угол ACD равен 75°.

Если есть дополнительные вопросы или непонятные моменты по решению, не стесняйтесь задавать!