Найдите знаменатель q q геометрической прогрессии ( b n ) (b n ) и её первый член, если b 2 = 8 b 2 =8 и b 5 = − 8 27 . b 5 =− 27 8 .
Чтобы найти знаменатель \( q \) геометрической прогрессии \( (b_n) \) и её первый член, давайте вспомним основные свойства геометрической прогрессии:
- Каждый следующий член прогрессии равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель \( q \): \[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \] где \( b_n \) — n-й член прогрессии, \( b_1 \) — первый член.
Исходя из условия, у нас есть два уравнения:
\[ b_2 = b_1 \cdot q = 8 \] \[ b_5 = b_1 \cdot q^4 = -\frac{8}{27} \]
Шаг 1: Выразим \( b_1 \) через \( q \)
Из первого уравнения мы можем выразить \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{8}{q} \]
Шаг 2: Подставим \( b_1 \) во второе уравнение
Теперь подставим \( b_1 \) в уравнение для \( b_5 \): \[ -\frac{8}{27} = \left(\frac{8}{q}\right) \cdot q^4 \] \[ -\frac{8}{27} = \frac{8q^4}{q} \] \[ -\frac{8}{27} = 8q^3 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Теперь упростим это уравнение: \[ -\frac{8}{27} = 8q^3 \] Разделим обе стороны на 8: \[ -\frac{1}{27} = q^3 \]
Шаг 4: Найдем \( q \)
Теперь найдем \( q \) как кубический корень: \[ q = -\frac{1}{3} \]
Шаг 5: Найдем \( b_1 \)
Теперь, когда мы знаем \( q \), подставим его обратно в уравнение для \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{8}{q} = \frac{8}{-\frac{1}{3}} = 8 \cdot -3 = -24 \]
Ответ
Таким образом, мы нашли:
- Знаменатель \( q = -\frac{1}{3} \)
- Первый член \( b_1 = -24 \)
Эти результаты помогают понять, как строится геометрическая прогрессия, основываясь на данных членов.
