{(2x+3)^2=5y {(3x-2)^2=5y

Решим систему уравнений, которая состоит из двух квадратных уравнений:

\[ (2x + 3)^2 = 5y \quad (1) \]

\[ (3x - 2)^2 = 5y \quad (2) \]

Шаг 1: Установим равенство

Так как \(5y\) одинаково в обоих уравнениях, мы можем приравнять левые части:

\[ (2x + 3)^2 = (3x - 2)^2 \]

Шаг 2: Уберем квадрат

Чтобы упростить уравнение, мы можем извлечь корень из обеих сторон, но сначала давайте запишем:

\[ (2x + 3)^2 - (3x - 2)^2 = 0 \]

Теперь применим формулу разности квадратов:

\[ (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \]

где \( a = (2x + 3) \) и \( b = (3x - 2) \). Таким образом, мы получаем:

\[ (2x + 3 - (3x - 2))(2x + 3 + (3x - 2)) = 0 \]

Шаг 3: Упростим выражения

Теперь упростим каждую из скобок:

1. \( 2x + 3 - (3x - 2) = 2x + 3 - 3x + 2 = -x + 5 \)
2. \( 2x + 3 + (3x - 2) = 2x + 3 + 3x - 2 = 5x + 1 \)

Теперь у нас есть два множителя:

\[ (-x + 5)(5x + 1) = 0 \]

Шаг 4: Решим каждое уравнение

1. Первое уравнение: \[ -x + 5 = 0 \implies x = 5 \]

2. Второе уравнение: \[ 5x + 1 = 0 \implies 5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5} \]

Шаг 5: Найдем \(y\)

Теперь подставим найденные значения \(x\) в любое из оригинальных уравнений для нахождения \(y\). Возьмем, например, первое уравнение:

Для \(x = 5\):

\[ 5y = (2 \cdot 5 + 3)^2 = (10 + 3)^2 = 13^2 = 169 \implies y = \frac{169}{5} = 33.8 \]

Для \(x = -\frac{1}{5}\):

\[ 5y = (2 \cdot -\frac{1}{5} + 3)^2 = (-\frac{2}{5} + 3)^2 = (3 - \frac{2}{5})^2 = (\frac{15}{5} - \frac{2}{5})^2 = (\frac{13}{5})^2 = \frac{169}{25} \implies y = \frac{169}{125} \]

Ответ

Таким образом, мы получили два решения:

1. \((x, y) = (5, 33.8)\)
2. \((x, y) = \left(-\frac{1}{5}, \frac{169}{125}\right)\)

Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!