в прямоугольном треугольнике pmk, угол mkp прямой, из вершины k к гипотенузе pm проходит прямая,которая касается гипотенузы pm в точке b, pm 144 см, pb 64 см, найти bm,mk,pk
Чтобы решить задачу о прямоугольном треугольнике pmk, где угол mkp прямой, и имеется касательная к гипотенузе pm, начнем с данных, которые есть в условии:
- Длина гипотенозы \( pm = 144 \) см.
- Длина отрезка \( pb = 64 \) см.
Поскольку точка b — это точка касания, то отрезок \( bm \) является длиной, которую мы должны найти.
Согласно свойствам касательной и секущей, мы можем записать следующее:
\[ pm^2 = pb^2 + bm^2 \]
Теперь подставим известные значения:
\[ 144^2 = 64^2 + bm^2 \]
Выполним расчеты:
- Сначала вычислим \( 144^2 \):
\[ 144^2 = 20736 \]
- Теперь вычислим \( 64^2 \):
\[ 64^2 = 4096 \]
Подставим эти значения в уравнение:
\[ 20736 = 4096 + bm^2 \]
Теперь выразим \( bm^2 \):
\[ bm^2 = 20736 - 4096 \] \[ bm^2 = 16640 \]
Теперь, чтобы найти \( bm \), возьмем квадратный корень:
\[ bm = \sqrt{16640} \] \[ bm \approx 128.99 \text{ см} \quad (\text{округляя, можно взять } 129 \text{ см}) \]
Теперь, для нахождения \( mk \) и \( pk \), используем теорему Пифагора. В нашем прямоугольном треугольнике у нас есть следующее:
- \( pk \) — это сторона, прилежащая к углу.
- \( mk \) — это сторону, противолежащая углу.
Согласно теореме Пифагора:
\[ pm^2 = mk^2 + pk^2 \]
Для нахождения \( mk \) и \( pk \) нам нужно использовать два треугольника: треугольник \( pbk \) и треугольник \( pmk \):
- Рассмотрим треугольник \( pbk \):
\[ pb^2 + bk^2 = pk^2 \]
Где \( bk = bm \) (т.е. равно 129 см).
Теперь, чтобы выразить \( pk \):
\[ pk^2 = 64^2 + 129^2 \]
Вычисляем \( 129^2 \):
\[ 129^2 \approx 16641 \]
Теперь подставляем:
\[ pk^2 = 4096 + 16641 \] \[ pk^2 = 20737 \] \[ pk \approx 144 \text{ см} \]
Следующий шаг — рассчитать \( mk \):
Используем теорему Пифагора в треугольнике \( pmk \):
\[ mk^2 = pm^2 - pk^2 \] \[ mk^2 = 20736 - 20737 \] \[ mk^2 = 1 \] \[ mk = 1 \text{ см} \]
Таким образом, мы получили следующие результаты:
- \( bm \approx 129 \) см
- \( pk \approx 144 \) см
- \( mk = 1 \) см
Итак, финальные ответы:
- Длина отрезка \( bm \) равна приблизительно 129 см.
- Длина отрезка \( pk \) равна 144 см.
- Длина отрезка \( mk = 1 \) см.
