Найти косинусы треугольника АВС если А (1;7) В(-2;4) С(2;0)

Чтобы найти косинусы углов треугольника \( \triangle ABC \), сначала нужно определить длины его сторон. Используем координаты точек для этого.

1. Найдем длины сторон треугольника:

   Формула расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в координатной плоскости: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

   • Сторона \( AB \):

     \[ AB = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

   • Сторона \( BC \):

     \[ BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

   • Сторона \( AC \):

     \[ AC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

2. Найдем косинусы углов с помощью косинусной теоремы:

   Косинусная теорема: для угла \( \gamma \) в треугольнике, противоположного стороне \( c \), \[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

   • Угол \( \angle A \): (противоположен стороне \( BC \))

     \[ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] \[ \cos A = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} \] \[ \cos A = \frac{18 + 50 - 32}{30} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} \] \[ \cos A = \frac{3}{5} \]

   • Угол \( \angle B \): (противоположен стороне \( AC \))

     \[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] \[ \cos B = \frac{18 + 32 - 50}{24} = \frac{0}{24} = 0 \]

   • Угол \( \angle C \): (противоположен стороне \( AB \))

     \[ \cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} \] \[ \cos C = \frac{50 + 32 - 18}{40} = \frac{64}{40} = \frac{8}{5} \] \[ \cos C = \frac{4}{5} \]

Таким образом, косинусы углов треугольника \( \triangle ABC \): \[ \cos A = \frac{3}{5}, \, \cos B = 0, \, \cos C = \frac{4}{5} \]