Найдите значение выражения ctg2 α • cos2α + cos2α - ctg2α при α= π/3
Чтобы найти значение выражения \( \text{ctg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha \) при \( \alpha = \frac{\pi}{3} \), начнем с нахождения значений функций в данной точке.
Вычислим \( \cos \frac{\pi}{3} \): \[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]
Теперь найдем \( \cos^2 \frac{\pi}{3} \): \[ \cos^2 \frac{\pi}{3} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \]
Теперь найдём \( \text{ctg} \frac{\pi}{3} \): \[ \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Чтобы найти \( \sin \frac{\pi}{3} \): \[ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Таким образом, \[ \text{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Найдем \( \text{ctg}^2 \frac{\pi}{3} \): \[ \text{ctg}^2 \frac{\pi}{3} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{3} \]
Подставим все найденные значения в исходное выражение: \[ \text{ctg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \]
Сначала вычислим \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \): \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \]
Теперь подставим это значение: \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \]
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12, 4 и 3 равен 12: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{и} \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \]
Подставляем в выражение: \[ \frac{1}{12} + \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = \frac{1 + 3 - 4}{12} = \frac{0}{12} = 0 \]
Итак, значение выражения при \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) равно \( 0 \).
