Для решения задачи используем теорему о биссектрисе треугольника. Она гласит, что биссектриса делит противоположную сторону в той же пропорции, что и две другие стороны треугольника. То есть:
[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
]
Зная, что (BD = 13.5) см и (DC = 4.5) см, найдём отношение:
[
\frac{BD}{DC} = \frac{13.5}{4.5} = 3
]
Это значит, что:
[
\frac{AB}{AC} = 3
]
Пусть (AB = 3x) и (AC = x). Периметр треугольника равен 42 см, то есть:
[
AB + AC + BC = 42
]
Зная, что (BC = BD + DC = 13.5 + 4.5 = 18) см, подставляем:
[
3x + x + 18 = 42
]
Упростим уравнение:
[
4x + 18 = 42
]
Вычтем 18 из обеих частей:
[
4x = 24
]
Теперь разделим обе части на 4:
[
x = 6
]
Теперь найдём (AB) и (AC):
[
AB = 3x = 3 \times 6 = 18 , \text{см}
]
[
AC = x = 6 , \text{см}
]
Таким образом, (AB = 18) см и (AC = 6) см.
