Решить

В этом задании нам нужно найти значение выражения \(\sin{\alpha}\), если \(\cos{\alpha} = \frac{7}{25}\) и \(\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)\).

Шаг 1: Использование основной тригонометрической тождества

Основное тригонометрическое тождество гласит:

\[ \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \]

Подставим в него известное значение \(\cos{\alpha}\):

\[ \sin^2{\alpha} + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \]

Шаг 2: Вычисление \(\sin^2{\alpha}\)

\[ \sin^2{\alpha} + \frac{49}{625} = 1 \]

\[ \sin^2{\alpha} = 1 - \frac{49}{625} \]

\[ \sin^2{\alpha} = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \]

Шаг 3: Найдите \(\sin{\alpha}\)

\[ \sin{\alpha} = \pm \sqrt{\frac{576}{625}} \]

\[ \sin{\alpha} = \pm \frac{24}{25} \]

Шаг 4: Определение знака \(\sin{\alpha}\)

Так как \(\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)\), это означает, что угол находится в четвёртой четверти. А в четвёртой четверти \(\sin{\alpha}\) принимает отрицательные значения.

Таким образом:

\[ \sin{\alpha} = -\frac{24}{25} \]

Округлим ответ до десятичной дроби:

\[ \sin{\alpha} \approx -0.96 \]

Итак, ответ: \(\sin{\alpha} = -0.96\).