В этом задании нам нужно найти значение выражения (\sin{\alpha}), если (\cos{\alpha} = \frac{7}{25}) и (\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)).
Шаг 1: Использование основной тригонометрической тождества
Основное тригонометрическое тождество гласит:
[
\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1
]
Подставим в него известное значение (\cos{\alpha}):
[
\sin^2{\alpha} + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1
]
Шаг 2: Вычисление (\sin^2{\alpha})
[
\sin^2{\alpha} + \frac{49}{625} = 1
]
[
\sin^2{\alpha} = 1 - \frac{49}{625}
]
[
\sin^2{\alpha} = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}
]
Шаг 3: Найдите (\sin{\alpha})
[
\sin{\alpha} = \pm \sqrt{\frac{576}{625}}
]
[
\sin{\alpha} = \pm \frac{24}{25}
]
Шаг 4: Определение знака (\sin{\alpha})
Так как (\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)), это означает, что угол находится в четвёртой четверти. А в четвёртой четверти (\sin{\alpha}) принимает отрицательные значения.
Таким образом:
[
\sin{\alpha} = -\frac{24}{25}
]
Округлим ответ до десятичной дроби:
[
\sin{\alpha} \approx -0.96
]
Итак, ответ: (\sin{\alpha} = -0.96).
