Найдите tg(a+B) ,если известно ,что cosa=⅗ cosB =7/25,где a и B -углы 1 четверти

Чтобы найти \(\tan(a + B)\), воспользуемся формулой сложения углов для тангенса: \[ \tan(a + B) = \frac{\tan a + \tan B}{1 - \tan a \tan B} \] Для начала нам нужно найти значения \(\tan a\) и \(\tan B\) по известным значениям \(\cos a\) и \(\cos B\). 1. **Найдём \(\sin a\)**: Поскольку \(\cos a = \frac{3}{5}\), используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставляем \(\cos a\): \[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Так как \(a\) находится в первом квадранте, \(\sin a\) будет положительным: \[ \sin a = \frac{4}{5} \] 2. **Найдём \(\tan a\)**: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] 3. **Теперь найдём \(\sin B\)**: Аналогично, у нас есть \(\cos B = \frac{7}{25}\): \[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \] \[ \sin^2 B + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 B + \frac{49}{625} = 1 \] \[ \sin^2 B = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \] Поскольку \(B\) также находится в первом квадранте, \(\sin B\) будет положительным: \[ \sin B = \frac{24}{25} \] 4. **Найдём \(\tan B\)**: \[ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} \] 5. **Теперь подставляем значения в формулу для \(\tan(a + B)\)**: \[ \tan(a + B) = \frac{\tan a + \tan B}{1 - \tan a \tan B} \] \[ = \frac{\frac{4}{3} + \frac{24}{7}}{1 - \left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{24}{7}\right)} \] **Сначала найдём \(\tan a + \tan B\)**: \[ \frac{4}{3} + \frac{24}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 24 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{28 + 72}{21} = \frac{100}{21} \] **Теперь найдём \(\tan a \tan B\)**: \[ \tan a \tan B = \left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{24}{7}\right) = \frac{96}{21} \] Подставляем эти значения в формулу: \[ \tan(a + B) = \frac{\frac{100}{21}}{1 - \frac{96}{21}} = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{21 - 96}{21}} = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{-75}{21}} = \frac{100}{-75} = -\frac{4}{3} \] Таким образом, \(\tan(a + B) = -\frac{4}{3}\).