найдите tg(a+B) ,если известно ,что cosa=⅗ cosB =7/25,где a и B -углы 1 четверти
Чтобы найти \(\tan(a + B)\), воспользуемся формулой сложения углов для тангенса:
\[ \tan(a + B) = \frac{\tan a + \tan B}{1 - \tan a \tan B} \]
Для начала нам нужно найти значения \(\tan a\) и \(\tan B\) по известным значениям \(\cos a\) и \(\cos B\).
Найдём \(\sin a\): Поскольку \(\cos a = \frac{3}{5}\), используем основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
Подставляем \(\cos a\):
\[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \]
\[ \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \]
\[ \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
Так как \(a\) находится в первом квадранте, \(\sin a\) будет положительным:
\[ \sin a = \frac{4}{5} \]
Найдём \(\tan a\):
\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \]
Теперь найдём \(\sin B\): Аналогично, у нас есть \(\cos B = \frac{7}{25}\):
\[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \]
\[ \sin^2 B + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \]
\[ \sin^2 B + \frac{49}{625} = 1 \]
\[ \sin^2 B = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} \]
Поскольку \(B\) также находится в первом квадранте, \(\sin B\) будет положительным:
\[ \sin B = \frac{24}{25} \]
Найдём \(\tan B\):
\[ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7} \]
Теперь подставляем значения в формулу для \(\tan(a + B)\):
\[ \tan(a + B) = \frac{\tan a + \tan B}{1 - \tan a \tan B} \]
\[ = \frac{\frac{4}{3} + \frac{24}{7}}{1 - \left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{24}{7}\right)} \]
Сначала найдём \(\tan a + \tan B\):
\[ \frac{4}{3} + \frac{24}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 24 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{28 + 72}{21} = \frac{100}{21} \]
Теперь найдём \(\tan a \tan B\):
\[ \tan a \tan B = \left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{24}{7}\right) = \frac{96}{21} \]
Подставляем эти значения в формулу:
\[ \tan(a + B) = \frac{\frac{100}{21}}{1 - \frac{96}{21}} = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{21 - 96}{21}} = \frac{\frac{100}{21}}{\frac{-75}{21}} = \frac{100}{-75} = -\frac{4}{3} \]
Таким образом, \(\tan(a + B) = -\frac{4}{3}\).
