Шар, скатывающийся по наклонному жёлобу, в первую секунду проходит 0,6 м, а в каждую следующую секунду его путь увеличивается на 0,6 м. Сколько времени будет двигаться шар по…

Рассмотрим движение шара по наклонному жёлобу.

В первую секунду шар проходит 0,6 м, во вторую секунду — 1,2 м (0,6 м + 0,6 м), в третью секунду — 1,8 м (1,2 м + 0,6 м) и так далее. Обобщая, можно заметить, что в \(n\)-ную секунду шар проходит \(0,6n\) м.

Теперь рассчитаем, сколько метров шар проходит за первые \(t\) секунд. Суммарный путь будет равен: \[ S = 0,6 \cdot 1 + 0,6 \cdot 2 + 0,6 \cdot 3 + \ldots + 0,6 \cdot t = 0,6 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + t) = 0,6 \cdot \frac{t(t+1)}{2} \] где \(\frac{t(t+1)}{2}\) — это сумма первых \(t\) натуральных чисел.

Итак, путь \(S\) можно выразить как: \[ S = 0,3t(t + 1) \]

Теперь нам нужно найти \(t\), при котором \(S = 6\) м: \[ 0,3t(t + 1) = 6 \]

Умножим обе стороны на \(10\), чтобы избавиться от десятичной дроби: \[ 3t(t + 1) = 60 \] \[ t(t + 1) = 20 \]

Теперь решим уравнение: \[ t^2 + t - 20 = 0 \]

Находим корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \]

Теперь вычислим корни: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{2} \]

Это даёт два корня: \[ t_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad (положительный \; корень) \] \[ t_2 = \frac{-10}{2} = -5 \quad (отрицательный \; корень, \; не \; подходит) \]

Таким образом, время \(t\) равно 4 секундам.

Шар будет двигаться по шестиметровому жёлобу 4 секунды.

Ответ: 4.