Реши

Дано: треугольник \( ABC \), точка \( D \) делит сторону \( AC \) на отрезки \( AD = 4 \) см и \( DC = 18 \) см. Площадь треугольника \( ABC \) составляет 110 см².

Требуется найти площадь большего из образовавшихся треугольников.

Решение

1. Найдем отношение длин отрезков:

   Точка \( D \) делит \( AC \) таким образом, что отрезки \( AD \) и \( DC \) равны 4 см и 18 см соответственно. Это означает, что отношение \( \frac{AD}{DC} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \).

2. Определим коэффициенты деления:

   Если \( AD : DC = 2 : 9 \), то сумма частей треугольника также будет делиться в этом отношении. Поскольку \( AD + DC = AC \), то общая длина \( AC \) поделена в отношении \( 2:9 \).

3. Вычислим площади треугольников \( ABD \) и \( BDC \):

   Общая площадь \( ABC = 110 \) см² и отношение площадей соответственно также \( 2:9 \). Обозначим площадь треугольника \( ABD \) как \( S_1 \) и \( BDC \) как \( S_2 \).

   Согласно отношению: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{9} \]

   \[ S_1 + S_2 = 110 \]

   Составим уравнение: \[ S_1 = \frac{2}{9} S_2 \]

   Подставим в сумму: \[ \frac{2}{9}S_2 + S_2 = 110 \]

   \[ \frac{11}{9} S_2 = 110 \]

   \[ S_2 = 110 \times \frac{9}{11} = 90 \]

4. Проверка:

   Если \( S_2 = 90 \), то: \[ S_1 = 110 - 90 = 20 \]

   Проверим отношение: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} \]

   Всё верно.

Ответ:

Площадь большего треугольника \( BDC \) составляет 90 см².