В амфитеатре  15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду  12 12 мест, а в шестом ряду  24 24 места. Сколько всего мест в амфитеатре?

Для решения этой задачи начнем с того, что у нас имеется амфитеатр с 15 рядами, где количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число, обозначим его \(d\). Мы знаем, что в третьем ряду 12 мест, а в шестом ряду 24 места. 1. **Определим формулу для количества мест в \(n\)-ом ряду.** Пусть \(a\) – количество мест в первом ряду. Тогда количество мест в \(n\)-ом ряду можно выразить как: \[ a_n = a + (n-1)d \] - Для третьего ряда (\(n=3\)): \[ a_3 = a + 2d = 12 \] - Для шестого ряда (\(n=6\)): \[ a_6 = a + 5d = 24 \] 2. **Составим систему уравнений.** Из этих двух уравнений мы можем составить систему: 1. \(a + 2d = 12\) (1) 2. \(a + 5d = 24\) (2) 3. **Решим систему уравнений.** Чтобы решить систему, вычтем уравнение (1) из уравнения (2): \[ (a + 5d) - (a + 2d) = 24 - 12 \] Это упростится до: \[ 3d = 12 \implies d = 4 \] Теперь подставим найденное значение \(d\) в одно из уравнений, например, в уравнение (1): \[ a + 2 \cdot 4 = 12 \] \[ a + 8 = 12 \implies a = 4 \] Теперь мы знаем, что: - \(a = 4\) (количество мест в первом ряду) - \(d = 4\) (увеличение количества мест в каждом следующем ряду) 4. **Определим количество мест в каждом ряду.** Теперь мы можем определить количество мест в каждом из 15 рядов: \[ a_n = 4 + (n-1) \cdot 4 = 4n \] То есть: - 1 ряд: \(4 \cdot 1 = 4\) мест - 2 ряд: \(4 \cdot 2 = 8\) мест - 3 ряд: \(4 \cdot 3 = 12\) мест - 4 ряд: \(4 \cdot 4 = 16\) мест - 5 ряд: \(4 \cdot 5 = 20\) мест - 6 ряд: \(4 \cdot 6 = 24\) мест - 7 ряд: \(4 \cdot 7 = 28\) мест - 8 ряд: \(4 \cdot 8 = 32\) мест - 9 ряд: \(4 \cdot 9 = 36\) мест - 10 ряд: \(4 \cdot 10 = 40\) мест - 11 ряд: \(4 \cdot 11 = 44\) мест - 12 ряд: \(4 \cdot 12 = 48\) мест - 13 ряд: \(4 \cdot 13 = 52\) мест - 14 ряд: \(4 \cdot 14 = 56\) мест - 15 ряд: \(4 \cdot 15 = 60\) мест 5. **Посчитаем общее количество мест.** Теперь мы можем найти общее количество мест в амфитеатре, сложив количество мест в каждом ряду: \[ \text{Общее количество мест} = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \] Можно воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] Здесь \(n = 15\), \(a_1 = 4\), \(a_n = 60\): \[ S_{15} = \frac{15}{2}(4 + 60) = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \] Итак, общее количество мест в амфитеатре составляет **480 мест**.