Для решения задачи начнем с новостей о данных.
- Обозначим длину дна аквариума как ( l ) сантиметров.
- Ширина дна аквариума будет равна ( w = l - 16 ) сантиметров (так как ширина на 16 см меньше длины).
- Площадь дна аквариума равна 105 см².
Теперь можем написать уравнение для площади дна аквариума:
[
l \cdot w = 105
]
Подставим выражение для ( w ):
[
l \cdot (l - 16) = 105
]
Раскроем скобки:
[
l^2 - 16l - 105 = 0
]
Теперь нам нужно решить квадратное уравнение. Чтобы это сделать, применим формулу для решения квадратного уравнения:
[
l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = -16 ), ( c = -105 ). Подставим эти значения:
[
l = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105)}}{2 \cdot 1}
]
Сначала найдем дискриминант:
[
(-16)^2 = 256
]
[
-4 \cdot 1 \cdot (-105) = 420
]
[
D = 256 + 420 = 676
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
l = \frac{16 \pm \sqrt{676}}{2}
]
[
\sqrt{676} = 26
]
[
l = \frac{16 \pm 26}{2}
]
Теперь решим это выражение:
- ( l = \frac{16 + 26}{2} = \frac{42}{2} = 21 )
- ( l = \frac{16 - 26}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ) (это значение нам не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
Таким образом, длина дна аквариума ( l = 21 ) см.
Теперь найдем ширину дна:
[
w = l - 16 = 21 - 16 = 5 \text{ см}
]
Теперь, чтобы найти периметр дна аквариума, используем формулу периметра прямоугольника:
[
P = 2(l + w)
]
Подставим найденные значения:
[
P = 2(21 + 5) = 2 \cdot 26 = 52 \text{ см}
]
Ответ: Периметр дна аквариума составляет 52 см.
