tgx-3ctgx=0
Давайте решим задачу \( \tan(x) - 3 \cot(x) = 0 \) пошагово.
Шаг 1: Приведем уравнение к удобной форме
Начнем с того, что cotangent (обратная тангенс) можно выразить как отношение:
\[ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \]
С учетом этого, уравнение можно переписать следующим образом:
\[ \tan(x) - 3 \cdot \frac{1}{\tan(x)} = 0 \]
Шаг 2: Умножим обе стороны уравнения на \(\tan(x)\)
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на \(\tan(x)\) (при этом помним, что \(\tan(x) \neq 0\)):
\[ \tan^2(x) - 3 = 0 \]
Шаг 3: Решим уравнение
Теперь добавим 3 к обеим сторонам:
\[ \tan^2(x) = 3 \]
Затем возьмем корень из обеих сторон:
\[ \tan(x) = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tan(x) = -\sqrt{3} \]
Шаг 4: Найдем значения угла
Теперь найдем углы \(x\), для которых \(\tan(x) = \sqrt{3}\) и \(\tan(x) = -\sqrt{3}\).
Для \(\tan(x) = \sqrt{3}\):
Значение угла, когда тангенс равен \(\sqrt{3}\), равно:
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Для \(\tan(x) = -\sqrt{3}\):
Значение угла, когда тангенс равен \(-\sqrt{3}\), равно:
\[ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Итоговое решение
Таким образом, общее множество решений уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]
Это все возможные значения угла \(x\), которые удовлетворяют первоначальному уравнению.
