{x2y2+2xy=3 {(x+y)2=x+y
Чтобы решить систему уравнений:
- \( x^2y^2 + 2xy = 3 \)
- \( (x + y)^2 = x + y \)
начнем с первого уравнения.
Шаг 1: Разобраться с первым уравнением
Первое уравнение:
\[ x^2y^2 + 2xy = 3 \]
Здесь мы видим, что можно выделить общий множитель \( 2xy \):
\[ x^2y^2 + 2xy - 3 = 0 \]
Это уравнение выглядит как квадратное относительно \( xy \). Мы можем обозначить \( z = xy \). Тогда:
\[ z^2 + 2z - 3 = 0 \]
Теперь найдём корни этого квадратного уравнения используя формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Теперь находим корни по формуле:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Это дает два значения:
\[ z_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Таким образом, \( xy = 1 \) или \( xy = -3 \).
Шаг 2: Разобраться со вторым уравнением
Теперь посмотрим на второе уравнение:
\[ (x + y)^2 = x + y \]
Преобразим это уравнение:
\[ (x + y)^2 - (x + y) = 0 \]
Факторизуем:
\[ (x + y)((x + y) - 1) = 0 \]
Это указывает на два случая:
- \( x + y = 0 \)
- \( x + y = 1 \)
Шаг 3: Рассмотрим оба случая
Случай 1: \( x + y = 0 \)
Если \( x + y = 0 \), то \( y = -x \).
Теперь подставляем \( y \) в \( xy = 1 \):
\[ x(-x) = 1 \rightarrow -x^2 = 1 \rightarrow x^2 = -1 \]
Так как \( x^2 = -1 \) не имеет действительных решений, этот случай не дает нам решений.
Случай 2: \( x + y = 1 \)
Теперь \( y = 1 - x \).
Подставляем в \( xy = 1 \):
\[ x(1 - x) = 1 \rightarrow x - x^2 = 1 \rightarrow x^2 - x + 1 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \]
Это тоже не имеет действительных решений.
Заключение
Оба случая не привели к действительным решениям. Таким образом, у данной системы уравнений нет решений в действительных числах.
