{x2y2+2xy=3 {(x+y)2=x+y

Чтобы решить систему уравнений: 1) \( x^2y^2 + 2xy = 3 \) 2) \( (x + y)^2 = x + y \) начнем с первого уравнения. ### Шаг 1: Разобраться с первым уравнением Первое уравнение: \[ x^2y^2 + 2xy = 3 \] Здесь мы видим, что можно выделить общий множитель \( 2xy \): \[ x^2y^2 + 2xy - 3 = 0 \] Это уравнение выглядит как квадратное относительно \( xy \). Мы можем обозначить \( z = xy \). Тогда: \[ z^2 + 2z - 3 = 0 \] Теперь найдём корни этого квадратного уравнения используя формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Теперь находим корни по формуле: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Это дает два значения: \[ z_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{-6}{2} = -3 \] Таким образом, \( xy = 1 \) или \( xy = -3 \). ### Шаг 2: Разобраться со вторым уравнением Теперь посмотрим на второе уравнение: \[ (x + y)^2 = x + y \] Преобразим это уравнение: \[ (x + y)^2 - (x + y) = 0 \] Факторизуем: \[ (x + y)((x + y) - 1) = 0 \] Это указывает на два случая: 1. \( x + y = 0 \) 2. \( x + y = 1 \) ### Шаг 3: Рассмотрим оба случая #### Случай 1: \( x + y = 0 \) Если \( x + y = 0 \), то \( y = -x \). Теперь подставляем \( y \) в \( xy = 1 \): \[ x(-x) = 1 \rightarrow -x^2 = 1 \rightarrow x^2 = -1 \] Так как \( x^2 = -1 \) не имеет действительных решений, этот случай не дает нам решений. #### Случай 2: \( x + y = 1 \) Теперь \( y = 1 - x \). Подставляем в \( xy = 1 \): \[ x(1 - x) = 1 \rightarrow x - x^2 = 1 \rightarrow x^2 - x + 1 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \] Это тоже не имеет действительных решений. ### Заключение Оба случая не привели к действительным решениям. Таким образом, у данной системы уравнений нет решений в действительных числах.