Выяснить коллинеарны ли векторы AB и CD A(2;3;-1) ; B(0;1;2) ;C (4;-1;-1) ;D (2;-3;1)
Чтобы выяснить, коллинеарны ли векторы AB и CD, начнем с определения самих векторов. Векторы коллинеарны, если они направлены в одну и ту же сторону или противоположную, что эквивалентно тому, что один вектор является скалярным произведением другого.
Шаг 1: Находим координаты векторов AB и CD
Вектор AB можно найти как разность координат точек B и A:
\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (0 - 2, 1 - 3, 2 - (-1)) = (-2, -2, 3) \]
Вектор CD также можем найти аналогично:
\[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (2 - 4, -3 - (-1), 1 - (-1)) = (-2, -2, 2) \]
Теперь у нас есть векторы:
\[ \vec{AB} = (-2, -2, 3) \]
\[ \vec{CD} = (-2, -2, 2) \]
Шаг 2: Проверяем коллинеарность
Чтобы проверить коллинеарность этих двух векторов, посмотрим, можно ли выразить один вектор через другой с помощью умножения на скаляр. Для этого мы можем написать:
\[ \vec{CD} = k \cdot \vec{AB} \]
где \( k \) — это скаляр. Сравним координаты:
- Для первой координаты:
\(-2 = k \cdot (-2) \implies k = 1\)
- Для второй координаты:
\(-2 = k \cdot (-2) \implies k = 1\)
- Для третьей координаты:
\(2 = k \cdot 3\)
Подставим значение \( k = 1 \):
\[ 2 = 1 \cdot 3 \implies 2 = 3 \quad \text{(это неверно)} \]
Шаг 3: Вывод
Так как для третьей координаты не удалось найти значение \( k \), которое удовлетворяло бы уравнению, мы можем заключить, что векторы AB и CD не коллинеарны.
Ответ
Векторы AB и CD не коллинеарны.
