a) (x + 1) ^ 3 ; б) (1 - 2y) ^ 3 ; в) (m - n) ^ 3 ; г) (5 + c) ^ 3 ж) (x ^ 2 - 1) ^ 3 ;

Чтобы понять, как разложить данные выражения, мы воспользуемся формулой куба суммы. Формула звучит так:

\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

Это означает, что для выражения \( (x + 1)^3 \), \( (1 - 2y)^3 \), \( (m - n)^3 \), и \( (5 + c)^3 \) можно присвоить значения \( a \) и \( b \) и применить данную формулу. Также мы рассмотрим использование бинома в случае выражения \( (x^2 - 1)^3 \).

Теперь последовательно разберем каждое выражение.

a) \( (x + 1)^3 \)

1. Здесь \( a = x \) и \( b = 1 \).
2. Подставим в формулу: \[ (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3 \]
3. Упростим: \[ = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]

б) \( (1 - 2y)^3 \)

1. Здесь \( a = 1 \) и \( b = -2y \).
2. Подставим в формулу: \[ (1 - 2y)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot 1 \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 \]
3. Упростим: \[ = 1 - 6y + 12y^2 - 8y^3 \]

в) \( (m - n)^3 \)

1. Здесь \( a = m \) и \( b = -n \).
2. Подставим в формулу: \[ (m - n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 \]

г) \( (5 + c)^3 \)

1. Здесь \( a = 5 \) и \( b = c \).
2. Подставим в формулу: \[ (5 + c)^3 = 5^3 + 3 \cdot 5^2 \cdot c + 3 \cdot 5 \cdot c^2 + c^3 \]
3. Упростим: \[ = 125 + 75c + 15c^2 + c^3 \]

ж) \( (x^2 - 1)^3 \)

Эта задача может быть немного сложнее, так как она использует разность квадратов. Сначала заметим, что \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), но мы можем просто применить общую формулу куба разности.

1. Здесь \( a = x^2 \) и \( b = 1 \).
2. Подставим в формулу: \[ (x^2 - 1)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 1^2 - 1^3 \]
3. Упростим: \[ = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 \]

Итоговые результаты:

• a) \( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)
• б) \( (1 - 2y)^3 = 1 - 6y + 12y^2 - 8y^3 \)
• в) \( (m - n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 \)
• г) \( (5 + c)^3 = 125 + 75c + 15c^2 + c^3 \)
• ж) \( (x^2 - 1)^3 = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы по каждому из шагов или вы хотите, чтобы я объяснил что-то более подробно, дайте знать!