Чтобы сократить дробь (\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}), сначала нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Шаг 1: Разложение числителя
Числитель: (x^2 - 6x + 9)
Эта квадратичная форма может быть разложена. Мы ищем числа, которые в сумме дают (-6) (коэффициент при (x)), а в произведении дают (9) (свободный член). Числа (-3) и (-3) удовлетворяют этим условиям. Таким образом, числитель можно записать как:
[
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2
]
Шаг 2: Разложение знаменателя
Знаменатель: (x^2 - 9)
Это разность квадратов, так как (9) можно записать как (3^2). Формула для разности квадратов:
[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
]
В нашем случае (a = x) и (b = 3):
[
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
]
Шаг 3: Подставляем разложения обратно в дробь
Теперь заменяем числитель и знаменатель на их разложения:
[
\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = \frac{(x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}
]
Шаг 4: Сокращение дроби
Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель ((x - 3)). Мы можем его сократить (при условии, что (x \neq 3), чтобы избежать деления на ноль):
[
= \frac{(x - 3)}{(x + 3)}, \quad x \neq 3
]
Ответ
Следовательно, сокращенная форма дроби:
[
\frac{x - 3}{x + 3}, \quad x \neq 3
]
Если нужно что-то еще или более подробно объяснить определенные шаги, дайте знать!
