Решить задачу

Для решения задачи разберём две части: доказательство подобия треугольников и нахождение высоты \( CD \).

1. Доказательство подобия треугольников \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \)

Чтобы доказать подобие треугольников, рассмотрим их углы:

• Оба треугольника \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \) содержат общий угол \( \angle ACD \).
• Угол \( \angle ACD \) равен углу \( \angle BCD \), поскольку они вертикальные.
• Также, поскольку треугольник \( ABC \) прямоугольный, то \( \angle CAD = \angle CBD = 90^\circ \).

Таким образом, треугольники \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \) имеют два равных угла, следовательно, они подобны по признаку равенства двух углов.

2. Нахождение высоты \( CD \)

Поскольку \( \triangle ACD \sim \triangle CBD \), то можем записать отношение сходственных сторон: \[ \frac{AC}{CD} = \frac{CD}{BC} \]

Обозначим \( CD = h \). Тогда получим: \[ \frac{16}{h} = \frac{h}{9} \]

Решим это уравнение: \[ 16 \cdot 9 = h^2 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \]

Следовательно, высота \( CD = 12 \) см.

Таким образом, мы доказали, что треугольники \( ACD \) и \( CBD \) подобны, и нашли высоту \( CD = 12 \) см.