при значениях n векторы b(9n-7;3n+1;9) c(4;-3;5n-8) перпендикулярны?

Чтобы определить, перпендикулярны ли два вектора \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), нужно вычислить их скалярное произведение и установить, равно ли оно нулю. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Запишем векторы \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \): \[ \mathbf{b} = (9n - 7, 3n + 1, 9) \] \[ \mathbf{c} = (4, -3, 5n - 8) \]

2. Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \): Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \) и \( \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) \) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = b_1 \cdot c_1 + b_2 \cdot c_2 + b_3 \cdot c_3 \]

   Подставляем значения: \[ b_1 = 9n - 7, \quad b_2 = 3n + 1, \quad b_3 = 9 \] \[ c_1 = 4, \quad c_2 = -3, \quad c_3 = 5n - 8 \]

   Считаем: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (9n - 7) \cdot 4 + (3n + 1) \cdot (-3) + 9 \cdot (5n - 8) \]

3. Упростим каждое произведение: \[ (9n - 7) \cdot 4 = 36n - 28 \] \[ (3n + 1) \cdot (-3) = -9n - 3 \] \[ 9 \cdot (5n - 8) = 45n - 72 \]

4. Сложим все части: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (36n - 28) + (-9n - 3) + (45n - 72) \] Объединим подобные: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (36n - 9n + 45n) + (-28 - 3 - 72) \] \[ = 72n - 103 \]

5. Установим условие перпендикулярности: Чтобы векторы были перпендикулярны, скалярное произведение должно быть равно нулю: \[ 72n - 103 = 0 \]

6. Решим уравнение: \[ 72n = 103 \] \[ n = \frac{103}{72} \]

Таким образом, векторы \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) будут перпендикулярны, когда \( n = \frac{103}{72} \).