Ответ

Чтобы найти стационарные точки функции \( f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 6x - 9x - 1 \), необходимо выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Найти производную функции

Функция дана как:

\[ f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 6x - 9x - 1 \]

Сначала упростим её:

\[ f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 15x - 1 \]

Теперь найдём первую производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3) + \frac{d}{dx}(20x^2) - \frac{d}{dx}(15x) - \frac{d}{dx}(1) \]

Используя правила дифференцирования, получаем:

\[ f'(x) = 15x^2 + 40x - 15 \]

Шаг 2: Найти стационарные точки

Стационарные точки находятся приравниванием первой производной к нулю:

\[ 15x^2 + 40x - 15 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

Дискриминант \( D \) вычисляется как:

\[ D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 1600 + 900 = 2500 \]

Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

где \( a = 15 \), \( b = 40 \), \( c = -15 \).

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{-40 \pm \sqrt{2500}}{30} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-40 \pm 50}{30} \]

Итак, решения:

\[ x_1 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-90}{30} = -3 \]

Шаг 3: Вывод

Итак, стационарные точки функции \( f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 15x - 1 \) — это \( x = \frac{1}{3} \) и \( x = -3 \).