Ответ

Чтобы найти стационарные точки функции \( f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 6x - 9x - 1 \), необходимо выполнить следующие шаги. ### Шаг 1: Найти производную функции Функция дана как: \[ f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 6x - 9x - 1 \] Сначала упростим её: \[ f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 15x - 1 \] Теперь найдём первую производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3) + \frac{d}{dx}(20x^2) - \frac{d}{dx}(15x) - \frac{d}{dx}(1) \] Используя правила дифференцирования, получаем: \[ f'(x) = 15x^2 + 40x - 15 \] ### Шаг 2: Найти стационарные точки Стационарные точки находятся приравниванием первой производной к нулю: \[ 15x^2 + 40x - 15 = 0 \] Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант: Дискриминант \( D \) вычисляется как: \[ D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 1600 + 900 = 2500 \] Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где \( a = 15 \), \( b = 40 \), \( c = -15 \). Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-40 \pm \sqrt{2500}}{30} \] \[ x_{1,2} = \frac{-40 \pm 50}{30} \] Итак, решения: \[ x_1 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-90}{30} = -3 \] ### Шаг 3: Вывод Итак, стационарные точки функции \( f(x) = 5x^3 + 20x^2 - 15x - 1 \) — это \( x = \frac{1}{3} \) и \( x = -3 \).