F(x)=2x-x²

Давайте разберём функцию \( F(x) = 2x - x^2 \) и поймём её свойства.

Шаг 1: Определение функции

Функция \( F(x) = 2x - x^2 \) является квадратичной (или полиномиальной) функцией. Квадратичные функции имеют вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — константы. В данной функции:

• \( a = -1 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
• \( b = 2 \) (коэффициент при \( x \)),
• \( c = 0 \) (свободный член).

Шаг 2: График функции

Так как это квадратичная функция, её графиком является парабола.

• Поскольку \( a < 0 \) (равен -1), парабола будет открыта вниз.
• Вершина параболы (максимум) будет находиться в точке, которая находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \).

Подставим значения \( b \) и \( a \): \[ x = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \]

Теперь найдем значение \( F(1) \): \[ F(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, 1) \).

Шаг 3: Нахождение нулей функции

Чтобы найти, когда функция равна нулю (пересекает ось absciss), решим уравнение: \[ 2x - x^2 = 0 \] Можно вынести \( x \) за скобки: \[ x(2 - x) = 0 \] Что дает два корня:

1. \( x = 0 \)
2. \( 2 - x = 0 \) или \( x = 2 \)

Следовательно, функция \( F(x) \) пересекает ось \( x \) в точках \( (0,0) \) и \( (2,0) \).

Шаг 4: Построение графика

Теперь мы можем нарисовать график функции. Он будет представлять собой параболу с:

• Вершиной в точке \( (1, 1) \),
• Пересечениями оси \( x \) в точках \( (0,0) \) и \( (2,0) \).

Шаг 5: Проверим значение функции в некоторых точках

• \( F(0) = 2 \cdot 0 - 0^2 = 0 \) (лежит на оси \( x \))
• \( F(2) = 2 \cdot 2 - 2^2 = 0 \) (лежит на оси \( x \))
• \( F(3) = 2 \cdot 3 - 3^2 = 6 - 9 = -3 \) (лежит ниже оси \( x \))

Заключение

Таким образом, функция \( F(x) = 2x - x^2 \) представляет собой параболу, открывающееся вниз, с вершиной в \( (1, 1) \) и корнями \( (0, 0) \) и \( (2, 0) \).

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой функции или вы хотите изучить её подробнее, пожалуйста, дайте знать!