Разложить на множители: 36^n-2*6^n-25^n+1, где n- натуральное число

Для разложения выражения \( 36^n - 2 \cdot 6^n - 25^n + 1 \) на множители, начнем с того, что упростим его. Заметим, что \( 36^n \) можно переписать через \( 6^n \):

\[ 36^n = (6^2)^n = (6^n)^2 \]

Таким образом, наше выражение можно записать как:

\[ (6^n)^2 - 2 \cdot 6^n - 25^n + 1 \]

Теперь введем замену: пусть \( x = 6^n \). Тогда теперь выражение принимает следующий вид:

\[ x^2 - 2x - 25^n + 1 \]

Далее упростим константу, которая включает \( 25^n \). Заметим, что \( 25^n = (5^2)^n = (5^n)^2 \).

Подставим вместо \( 25^n \) выражение \( (5^n)^2 \):

\[ x^2 - 2x - (5^n)^2 + 1 \]

Теперь упростим выражение:

\[ x^2 - 2x + 1 - (5^n)^2 \]

Объединим \( -2x + 1 \):

\[ (x - 1)^2 - (5^n)^2 \]

Теперь мы видим, что получилось разность квадратов:

\[ (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \]

где \( a = (x - 1) \) и \( b = 5^n \). Используя формулу разности квадратов, получаем:

\[ ((x - 1) - 5^n) \cdot ((x - 1) + 5^n) \]

Подставим обратно \( x = 6^n \):

\[ ((6^n - 1) - 5^n) \cdot ((6^n - 1) + 5^n) \]

Заметим, что это можно записать как:

\[ (6^n - 1 - 5^n)(6^n - 1 + 5^n) \]

Итак, полное разложение на множители исходного выражения \( 36^n - 2 \cdot 6^n - 25^n + 1 \) будет:

\[ (6^n - 1 - 5^n)(6^n - 1 + 5^n) \]

Это и есть разложение на множители.