Для разложения выражения ( 36^n - 2 \cdot 6^n - 25^n + 1 ) на множители, начнем с того, что упростим его. Заметим, что ( 36^n ) можно переписать через ( 6^n ):
[
36^n = (6^2)^n = (6^n)^2
]
Таким образом, наше выражение можно записать как:
[
(6^n)^2 - 2 \cdot 6^n - 25^n + 1
]
Теперь введем замену: пусть ( x = 6^n ). Тогда теперь выражение принимает следующий вид:
[
x^2 - 2x - 25^n + 1
]
Далее упростим константу, которая включает ( 25^n ). Заметим, что ( 25^n = (5^2)^n = (5^n)^2 ).
Подставим вместо ( 25^n ) выражение ( (5^n)^2 ):
[
x^2 - 2x - (5^n)^2 + 1
]
Теперь упростим выражение:
[
x^2 - 2x + 1 - (5^n)^2
]
Объединим ( -2x + 1 ):
[
(x - 1)^2 - (5^n)^2
]
Теперь мы видим, что получилось разность квадратов:
[
(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)
]
где ( a = (x - 1) ) и ( b = 5^n ). Используя формулу разности квадратов, получаем:
[
((x - 1) - 5^n) \cdot ((x - 1) + 5^n)
]
Подставим обратно ( x = 6^n ):
[
((6^n - 1) - 5^n) \cdot ((6^n - 1) + 5^n)
]
Заметим, что это можно записать как:
[
(6^n - 1 - 5^n)(6^n - 1 + 5^n)
]
Итак, полное разложение на множители исходного выражения ( 36^n - 2 \cdot 6^n - 25^n + 1 ) будет:
[
(6^n - 1 - 5^n)(6^n - 1 + 5^n)
]
Это и есть разложение на множители.
