вычислить производную функции у'=(х^2-4+3)'=
Чтобы вычислить производную функции \( y' = (x^2 - 4 + 3)' \), следуем следующим шагам:
Упростим функцию: Сначала упростим выражение внутри производной: \[ x^2 - 4 + 3 = x^2 - 1 \] Таким образом, наша функция упрощается до: \[ y = x^2 - 1 \]
Найдем производную: Теперь можно найти производную функции \( y = x^2 - 1 \). Мы будем использовать правило, что производная суммы равна сумме производных, и производная константы равна нулю.
- Производная \( x^2 \) по \( x \) равна \( 2x \).
- Производная константы \(-1\) равна \( 0 \).
Таким образом, получаем: \[ y' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x \]
Запишем ответ: Производная функции \( y = x^2 - 1 \) равна: \[ y' = 2x \]
Таким образом, итоговый ответ: \[ y' = 2x \]
Обсуждение
2 сообщенияИсследовать функцию с помощью производной и построить график: y = х^2-4х+3 по алгоритму исследования и построения графика функции
Для исследования функции \( y = x^2 - 4x + 3 \) с помощью производной и построения графика, пройдём несколько этапов.
1. Найти производную функции
Функция: \[ y = x^2 - 4x + 3 \]
Найдем производную: \[ y' = (x^2)' - (4x)' + (3)' = 2x - 4 + 0 = 2x - 4 \]
2. Найти критические точки
Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: \[ 2x - 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \implies x = 2 \]
3. Определить знаки производной
Рассмотрим знаки \( y' \) на интервалах, определяемых критической точкой \( x = 2 \):
Для \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y' = 2(0) - 4 = -4 \quad (\text{отрицательное}) \]
Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ y' = 2(3) - 4 = 2 \quad (\text{положительное}) \]
4. Нахождение промежутков возрастания и убывания
- Функция убывает на интервале \( (-\infty; 2) \)
- Функция возрастает на интервале \( (2; +\infty) \)
5. Найти значение функции в критической точке
Теперь найдём значение функции в критической точке \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]
Итак, у нас есть минимум в точке \( (2, -1) \).
6. Определить интервалы вогнутости и выпуклости
Найдем вторую производную: \[ y'' = (2x - 4)' = 2 \] Так как \( y'' = 2 > 0 \) для всех \( x \), функция является выпуклой на всей числовой прямой.
7. Выводы
- Функция имеет минимум в точке \( (2, -1) \).
- Функция убывает на интервале \( (-\infty; 2) \) и возрастает на интервале \( (2; +\infty) \).
- Функция является выпуклой (вторую производную положительна).
8. Построение графика функции
Теперь можем построить график функции на основе полученной информации:
Минимальная точка: \( (2, -1) \)
Значения функции в других точках:
- \( y(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 \)
- \( y(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0 \)
- \( y(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 0 \)
- \( y(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 3 \)
Теперь можно нанести эти точки на график и соединить их.
График функции
График функции будет параболой, направленной вверх, с минимальной точкой в \( (2, -1) \). Вы можете использовать графический редактор или программу для построения графиков, чтобы визуализировать полученные результаты.
