x+y=3 x²+y²=9 решить систему уравнений

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( x + y = 3 \)
2. \( x^2 + y^2 = 9 \)

начнем с первого уравнения. Из него мы можем выразить одну переменную через другую. Давайте выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = 3 - x \]

Теперь, подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:

\[ x^2 + (3 - x)^2 = 9 \]

Теперь развернем квадрат для второго уравнения:

\[ (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2 \]

Подставим это в уравнение:

\[ x^2 + (9 - 6x + x^2) = 9 \]

Сложим все члены:

\[ x^2 + 9 - 6x + x^2 = 9 \]

Сокращаем \( 9 \) с обеих сторон:

\[ 2x^2 - 6x = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель:

\[ 2x(x - 3) = 0 \]

Решая это уравнение, получаем два возможных значения для \( x \):

1. \( 2x = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \)

Теперь найдем соответствующие значения переменной \( y \) для каждого найденного значения \( x \).

1. Если \( x = 0 \):

\[ y = 3 - 0 = 3 \quad \Rightarrow \quad (x, y) = (0, 3) \]

2. Если \( x = 3 \):

\[ y = 3 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x, y) = (3, 0) \]

Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:

1. \( (0, 3) \)
2. \( (3, 0) \)

Теперь давайте проверим, что эти решения удовлетворяют второму уравнению:

Для \( (0, 3) \):

\[ 0^2 + 3^2 = 0 + 9 = 9 \]

Для \( (3, 0) \):

\[ 3^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9 \]

Оба решения верны, и мы можем считать, что система уравнений решена:

Ответ: \( (0, 3) \) и \( (3, 0) \).