Площадь прямоугольника одна из сторон которого на 7 см см больше другой равна 198 см². Чему равны стороны прямоугольника? 2) какие уравнения из приведенных ниже имеют два различных корня? {3x²+x+1=0 ; 9x²-6x+1=0 ; 2x²-9x+11=0 ; 2x²+6x-1=0 ; 3x²+9x+7=0 ; x²-6x-5=0 ; 2x²+7x-6=0 ; 4x²-4x-1=0} 3) Один из корней уравнения 2x²+x-a=0 равно 2. Чему равно значение a? 4) разложить на множестели квадратный трёхчлен 3x²+5x-2. отметьте верный ответ: {(3x+2(x+1); (3x-1)(x+2);(3x-2);(x-1);(3x+1)(x-2)}. //это разные задачи соответственно разные ответы.//

Давайте решим каждую задачу по порядку. ### Задача 1: Площадь прямоугольника Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см. Тогда другая сторона, согласно условию, равна \( x + 7 \) см. Площадь прямоугольника можно найти по формуле: \[ S = \text{длина} \times \text{ширина} = x \times (x + 7) \] По условию, площадь равна 198 см², поэтому: \[ x(x + 7) = 198 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 7x - 198 = 0 \] Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-198) = 49 + 792 = 841 \] Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня. Найдем их по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 29}{2} \] Теперь подставим значения: 1. \( x_1 = \frac{-7 + 29}{2} = \frac{22}{2} = 11 \) 2. \( x_2 = \frac{-7 - 29}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \) (это не имеет физического смысла, так как длина не может быть отрицательной) Таким образом, \( x = 11 \) см — это одна из сторон, а другая: \[ x + 7 = 11 + 7 = 18 \text{ см} \] **Ответ:** Стороны прямоугольника равны 11 см и 18 см. --- ### Задача 2: Корни квадратных уравнений Для того чтобы определить, какие уравнения имеют два различных корня, нужно рассмотреть дискриминант \( D \) каждого уравнения. Уравнение имеет два различных корня, если \( D > 0 \). 1. \( 3x^2 + x + 1 = 0 \) \( D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 \) (нет корней) 2. \( 9x^2 - 6x + 1 = 0 \) \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0 \) (один корень) 3. \( 2x^2 - 9x + 11 = 0 \) \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 81 - 88 = -7 \) (нет корней) 4. \( 2x^2 + 6x - 1 = 0 \) \( D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 36 + 8 = 44 > 0 \) (два корня) 5. \( 3x^2 + 9x + 7 = 0 \) \( D = 9^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 81 - 84 = -3 \) (нет корней) 6. \( x^2 - 6x - 5 = 0 \) \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56 > 0 \) (два корня) 7. \( 2x^2 + 7x - 6 = 0 \) \( D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97 > 0 \) (два корня) 8. \( 4x^2 - 4x - 1 = 0 \) \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32 > 0 \) (два корня) **Уравнения с двумя различными корнями:** \( 2x^2 + 6x - 1 = 0 \) \( x^2 - 6x - 5 = 0 \) \( 2x^2 + 7x - 6 = 0 \) \( 4x^2 - 4x - 1 = 0 \) --- ### Задача 3: Значение \( a \) У нас есть уравнение: \[ 2x^2 + x - a = 0 \] Согласно условию, один из корней равен 2. Подставим \( x = 2 \): \[ 2(2^2) + 2 - a = 0 \] Вычислим: \[ 2(4) + 2 - a = 0 \implies 8 + 2 - a = 0 \implies a = 10 \] **Ответ:** \( a = 10 \). --- ### Задача 4: Разложить на множители Нам нужно разложить квадратный трёхчлен \( 3x^2 + 5x - 2 \) на множители. Начнем с нахождения корней уравнения: \[ 3x^2 + 5x - 2 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \] 1. \( x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) 2. \( x_2 = \frac{-12}{6} = -2 \) Теперь можем записать разложение: \[ 3(x - \frac{1}{3})(x + 2) = 3 \left(x + 2\right) \left(x - \frac{1}{3} \right) \] Рассмотрим предложенные варианты и найдем соответствующий: Наиболее правильное разложение по указанным вариантам: \((3x + 2)(x + 1)\) (так как \(3x + 2\) указывает на коэффициент перед \(x\), что правильно). **Правильный ответ:** \( (3x + 2)(x + 1) \). Если есть еще вопросы или задачи, пишите!