(4 5/9 + ( -3 5/18) + (-4 1/2)

Для решения выражения \( 4 \frac{5}{9} + \left( -3 \frac{5}{18} \right) + \left( -4 \frac{1}{2} \right) \) мы будем следовать пошагово.

Шаг 1: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби

1. Первое число: \[ 4 \frac{5}{9} = 4 \cdot 9 + 5 = 36 + 5 = 41 \quad \text{(числитель: 41, знаменатель: 9)} \] То есть, \( 4 \frac{5}{9} = \frac{41}{9} \).

2. Второе число: \[ -3 \frac{5}{18} = -\left(3 \cdot 18 + 5\right) = -\left(54 + 5\right) = -59 \quad \text{(числитель: -59, знаменатель: 18)} \] То есть, \( -3 \frac{5}{18} = \frac{-59}{18} \).

3. Третье число: \[ -4 \frac{1}{2} = -\left(4 \cdot 2 + 1\right) = -\left(8 + 1\right) = -9 \quad \text{(числитель: -9, знаменатель: 2)} \] То есть, \( -4 \frac{1}{2} = \frac{-9}{2} \).

Шаг 2: Теперь у нас есть выражение в дробях

Мы можем записать наше выражение следующим образом: \[ \frac{41}{9} + \frac{-59}{18} + \frac{-9}{2} \]

Шаг 3: Найдем общий знаменатель

Знаменатели: \( 9, 18, 2 \). Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел:

• НОК(9, 18) = 18
• НОК(18, 2) = 36

Таким образом, общий знаменатель будет 36.

Шаг 4: Перейдем к общему знаменателю

1. Приведем \( \frac{41}{9} \) к знаменателю 36: \[ \frac{41}{9} = \frac{41 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{164}{36} \]

2. Приведем \( \frac{-59}{18} \) к знаменателю 36: \[ \frac{-59}{18} = \frac{-59 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{-118}{36} \]

3. Приведем \( \frac{-9}{2} \) к знаменателю 36: \[ \frac{-9}{2} = \frac{-9 \cdot 18}{2 \cdot 18} = \frac{-162}{36} \]

Шаг 5: Складываем дроби

Теперь мы можем сложить дроби: \[ \frac{164}{36} + \frac{-118}{36} + \frac{-162}{36} = \frac{164 - 118 - 162}{36} \]

Теперь посчитаем числитель: \[ 164 - 118 = 46 \] \[ 46 - 162 = -116 \]

Итак, у нас получается: \[ \frac{-116}{36} \]

Шаг 6: Упростим дробь

Для упрощения дроби находим НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя: \[ -116 = -2 \cdot 58, \quad 36 = 2 \cdot 18 \] Таким образом, НОД = 2. Делим числитель и знаменатель на 2: \[ \frac{-116 \div 2}{36 \div 2} = \frac{-58}{18} \]

Шаг 7: Снова упростим

Далее можно поделить на 2 еще раз: \[ \frac{-58 \div 2}{18 \div 2} = \frac{-29}{9} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \boxed{-\frac{29}{9}} \]

Это значение в неправильной дроби. Если необходимо представить его в виде смешанного числа, то: \[ -\frac{29}{9} = -3 \frac{2}{9} \] где \( 29 \div 9 = 3 \) и остаток \( 2 \).

Ответ в смешанной форме:

\[ \boxed{-3 \frac{2}{9}} \]