2×arccos 1-arctg(-\3)+ arcctg \3/3

Давайте разберем выражение: \( 2 \times \arccos(1) - \arctan(-3) + \frac{\text{arcctg}(3)}{3} \).

Шаг 1: Нахождение \(\arccos(1)\)

Функция \(\arccos(x)\) определяет угол \(\theta\) такой, что \(\cos(\theta) = x\).

• Когда \(x = 1\): \[ \arccos(1) = 0 \]

Таким образом, \(2 \times \arccos(1) = 2 \times 0 = 0\).

Шаг 2: Нахождение \(\arctan(-3)\)

Функция \(\arctan(x)\) определяет угол \(\theta\) такой, что \(\tan(\theta) = x\).

• Когда \(x = -3\): \[ \theta = \arctan(-3) \] Это угол, который находится в четвертой четверти (с учетом периодичности тригонометрических функций). В данном случае, можем оставить \(\arctan(-3)\) как есть.

Шаг 3: Нахождение \(\text{arcctg}(3)\)

Функция \(\text{arcctg}(x)\) определяет угол \(\theta\) такой, что \(\cot(\theta) = x\).

• Когда \(x = 3\): \[ \text{arcctg}(3) = \frac{\pi}{2} - \arctan(3) \]

Шаг 4: Собираем все части вместе

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: \[ 2 \times \arccos(1) - \arctan(-3) + \frac{\text{arcctg}(3)}{3} = 0 - \arctan(-3) + \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan(3)}{3} \] Так как \(-\arctan(-3)\) является просто \(\arctan(3)\), получаем: \[ 0 + \arctan(3) + \frac{\frac{\pi}{2} - \arctan(3)}{3} \]

Шаг 5: Упрощение выражения

Теперь давайте простоим это:

1. \(\arctan(3)\)
2. Считаем \(\frac{\frac{\pi}{2}}{3} - \frac{\arctan(3)}{3}\)

Объединяем: \[ \arctan(3) + \frac{\pi}{6} - \frac{\arctan(3)}{3} \]

Чтобы сложить, найдем общий знаменатель для \(\arctan(3)\) и \(-\frac{\arctan(3)}{3}\): \[ \frac{3\arctan(3)}{3} - \frac{\arctan(3)}{3} = \frac{2\arctan(3)}{3} \]

Теперь подставим всё это: \[ \frac{2\arctan(3)}{3} + \frac{\pi}{6} \]

Ответ:

Таким образом, полное упрощенное выражение будет: \[ \frac{2\arctan(3)}{3} + \frac{\pi}{6} \]

Это и есть окончательный результат преобразования исходного выражения.