. Площадь прямоугольного треугольника равна 800sqrt(3) Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Чтобы решить задачу о нахождении длины катета прямоугольного треугольника с известной площадью и углом, следуем пошагово.

1. Формула для площади треугольника:
   Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника.

2. Данные задачи:
   Из условия известно, что площадь \( S = 800\sqrt{3} \) и один из острых углов \( \angle A = 30^\circ \).

3. Нахождение катетов:
   В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° катеты связаны следующим образом:

   • Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.
   • Катет, лежащий напротив угла 60°, равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) от гипотенузы.

   Обозначим катет, лежащий напротив угла 30°, как \( a \), а катет, лежащий напротив угла 60°, как \( b \). Также обозначим гипотенузу как \( c \).

   По свойствам треугольника: \[ a = \frac{1}{2} c \] \[ b = \frac{\sqrt{3}}{2} c \]

4. Заменим катеты в формуле площади:
   Подставим выражения для \( a \) и \( b \) в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} c \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} c \right) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 \]

5. Приравниваем площади:
   Теперь подставим значение площади: \[ \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = 800 \sqrt{3} \]

6. Упростим уравнение:
   Умножим обе стороны на 8 и разделим на \( \sqrt{3} \): \[ c^2 = 800 \sqrt{3} \cdot 8 / \sqrt{3} \] \[ c^2 = 6400 \] Следовательно: \[ c = 80 \]

7. Найдем длину катета \( a \):
   Теперь можем найти \( a \): \[ a = \frac{1}{2} c = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40 \]

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла 30°, равна \( 40 \).

Ответ: Длина катета, лежащего напротив угла 30°, равна 40.