Номер 14

Чтобы решить задачу №14, давайте рассмотрим каждую из функций по очереди и выясним, какие из них четные, какие нечетные, а какие не принадлежат ни к одной из категорий.

Четная функция — это такая функция, которая удовлетворяет свойству: \( f(x) = f(-x) \). Это означает, что график функции симметричен относительно оси \( Oy \).

Нечетная функция — это функция, для которой выполняется условие: \( f(-x) = -f(x) \). В этом случае график функции симметричен относительно начала координат.

Давайте проверим каждую из данных функций:

1. \( f(x) = 3x^2 - 2 \)

   Проверка на четность: \[ f(-x) = 3(-x)^2 - 2 = 3x^2 - 2 = f(x) \] Функция четная.

2. \( f(x) = x^3 - x \)

   Проверка на нечетность: \[ f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x) \] Функция нечетная.

3. \( f(x) = \frac{1}{x} \)

   Проверка на нечетность: \[ f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x) \] Функция нечетная.

4. \( f(x) = 2^x \)

   Проверим четность: \[ f(-x) = 2^{-x} = \frac{1}{2^x} \neq 2^x = f(x) \] Проверим нечетность: \[ f(-x) = \frac{1}{2^x} \neq -2^x = -f(x) \] Функция не является ни четной, ни нечетной.

Теперь можем сделать выводы:

• Четные: \( f(x) = 3x^2 - 2 \) (ответ: а)
• Нечетные: \( f(x) = x^3 - x \), \( f(x) = \frac{1}{x} \) (ответ: б, в)
• Не являются ни четными, ни нечетными: \( f(x) = 2^x \) (ответ: г)

Таким образом, задача решена.