Найдите производную функции:1) y= 3√x+4ctgx найдите значение производной функции в точке x0: 1) y= 2tgx-3x, x0=π/4 2) y= -2x³+3x²-4x, x0=2/3

Давайте по шагам решим обе поставленные задачи.

1. Найдите производную функции: \( y = 3\sqrt{x} + 4\cot(x) \)

Для нахождения производной функции используем правила дифференцирования.

Шаг 1: Найдем производную каждого члена по отдельности.

• Производная \( 3\sqrt{x} \): \[ 3\sqrt{x} = 3x^{1/2} \] Применяем правило дифференцирования \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \): \[ \frac{d}{dx}(3x^{1/2}) = 3 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} \]

• Производная \( 4\cot(x) \): \[ \frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x) \quad \text{(где \(\csc(x)\) - котангенс)} \] Тогда: \[ \frac{d}{dx}(4\cot(x)) = 4 \cdot (-\csc^2(x)) = -4\csc^2(x) \]

Шаг 2: Объединим производные. Таким образом, полная производная будет: \[ y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 4\csc^2(x) \]

2. Найдите значение производной функции в точке \( x_0 \): \( y = 2\tan(x) - 3x \), \( x_0 = \frac{\pi}{4} \)

Шаг 1: Найдем производную функции.

• Производная \( 2\tan(x) \): \[ \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) \] Следовательно: \[ \frac{d}{dx}(2\tan(x)) = 2\sec^2(x) \]

• Производная \( -3x \): \[ \frac{d}{dx}(-3x) = -3 \]

Шаг 2: Объединим производные. Таким образом, полная производная будет: \[ y' = 2\sec^2(x) - 3 \]

Шаг 3: Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{4} \). Находим \( \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \): \[ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} \] Таким образом: \[ \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = (\sqrt{2})^2 = 2 \] Подставляем в производную: \[ y' = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \]

3. Найдите значение производной функции в точке \( x_0 \): \( y = -2x^3 + 3x^2 - 4x \), \( x_0 = \frac{2}{3} \)

Шаг 1: Найдем производную функции.

• Производная \( -2x^3 \): \[ \frac{d}{dx}(-2x^3) = -6x^2 \]

• Производная \( 3x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \]

• Производная \( -4x \): \[ \frac{d}{dx}(-4x) = -4 \]

Шаг 2: Объединим производные. Таким образом, полная производная будет: \[ y' = -6x^2 + 6x - 4 \]

Шаг 3: Подставим \( x_0 = \frac{2}{3} \). Находим значение производной: \[ y'\left(\frac{2}{3}\right) = -6\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 6\left(\frac{2}{3}\right) - 4 \] Считаем: \[ = -6 \cdot \frac{4}{9} + 6 \cdot \frac{2}{3} - 4 \] \[ = -\frac{24}{9} + \frac{12}{3} - 4 \] \[ = -\frac{24}{9} + 4 - 4 \] Приведем к общему знаменателю: \[ = -\frac{24}{9} + \frac{36}{9} - \frac{36}{9} = \frac{-24 + 36 - 36}{9} = \frac{-24}{9} = -\frac{8}{3} \]

Ответы:

1. Производная \( y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 4\csc^2(x) \)
2. Значение производной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) для функции \( y = 2\tan(x) - 3x \): \( y' = 1 \)
3. Значение производной в точке \( x_0 = \frac{2}{3} \) для функции \( y = -2x^3 + 3x^2 - 4x \): \( y' = -\frac{8}{3} \)