Теория вероятностей - 8.
Самостоятельная работа № 3 по теме «Независимые события».
Вариант № 2.
1. События А и В независимые.
Найдите вероятность наступления события A n В, если P(A) = 0,24,
P(B) = 0,4.
2. События А и В независимы. Найти вероятность события А, если P(B) = 0,6, P(АЛВ) = 0,43.
3. Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате раскручивания стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых
секторов, обозначенных буквами А, В, С, D и Е. Событие А - стрелка не остановится в секторе
А или
В; событие В - стрелка остановится в секторе С или Е. Найти вероятность каждого из этих событий
и вероятность их пересечения. Являются ли эти события независимыми?
4. Из колоды карт (36 листов) наугад вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что
это:
a) дама треф и валет пик;
б) две шестёрки?
5.* Случайным образом одновременно выбирают две буквы из 33 букв русского алфавита.
Найдите вероятность того, что обе они согласные?
Давайте разберем каждую из задач по отдельности, предоставляя подробные объяснения.
### Задача 1
**События А и В независимы. Найдите вероятность наступления события A n В, если P(A) = 0,24, P(B) = 0,4.**
**Решение:**
1. Поскольку события A и B независимы, вероятность их одновременного наступления (P(A ∩ B)) рассчитывается по формуле:
\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\]
2. Подставляем известные значения:
\[
P(A \cap B) = 0.24 \cdot 0.4
\]
3. Выполняем умножение:
\[
P(A \cap B) = 0.096
\]
**Ответ:** Вероятность наступления события A n B составляет 0,096.
---
### Задача 2
**События А и В независимы. Найти вероятность события А, если P(B) = 0,6, P(АЛВ) = 0,43.**
**Решение:**
1. P(A | B) - это условная вероятность события A при условии, что произошло событие B. В случае независимых событий P(A | B) = P(A).
2. По формуле полной вероятности, имеем:
\[
P(A \land B) = P(A | B) \cdot P(B)
\]
3. Подставляем известные значения:
\[
P(A \land B) = P(A) \cdot P(B) = P(A) \cdot 0.6
\]
4. Зная P(A ∪ B) = 0,43, подставим:
\[
P(A) \cdot 0.6 = 0.43
\]
5. Теперь найдем P(A):
\[
P(A) = \frac{0.43}{0.6} \approx 0.7167
\]
**Ответ:** Вероятность события A составляет приблизительно 0,7167.
---
### Задача 3
**Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате раскручивания стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых секторов, обозначенных буквами А, В, С, D и Е. Событие А - стрелка не остановится в секторе А или В; событие В - стрелка остановится в секторе С или Е. Найти вероятность каждого из этих событий и вероятность их пересечения. Являются ли эти события независимыми?**
**Решение:**
1. Элементарные события — это просто выпавшие сектора: {А, В, С, D, Е}.
2. **Событие A:** Стрелка не останавливается в секторе А или В. То есть возможны результаты C, D или E.
- Вероятность события A:
\[
P(A) = \frac{3}{5} \text{ (результаты C, D, E)}
\]
3. **Событие B:** Стрелка останавливается в секторе C или E. Следовательно:
- Вероятность события B:
\[
P(B) = \frac{2}{5} \text{ (результаты C и E)}
\]
4. **Пересечение A и B (A ∩ B):** Тогда события A и B будут одновременно выполняться, когда стрелка остановится в C или E, но не в A или B. Это сектора C или E, следовательно:
- Вероятность пересечения:
\[
P(A \cap B) = P(C) + P(E) = \frac{2}{5}
\]
5. **Проверка независимости:** События независимы, если P(A ∩ B) = P(A) * P(B):
\[
P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25} = 0.24
\]
\[
P(A \cap B) = \frac{2}{5} = 0.4
\]
0.4 ≠ 0.24, значит, события A и B не независимы.
**Ответ:**
- P(A) = 0.6
- P(B) = 0.4
- P(A ∩ B) = 0.4
- События A и B не являются независимыми.
---
### Задача 4
**Из колоды карт (36 листов) наугад вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что это: a) дама треф и валет пик; б) две шестёрки?**
**Решение:**
1. **a) Дама треф и валет пик.**
- В колоде всего 36 карт, и выбрать конкретную пару (даму треф и валета пик) можно одним способом.
- Всего способов выбрать 2 карты из 36:
\[
C(36, 2) = \frac{36 \cdot 35}{2} = 630
\]
- Вероятность:
\[
P = \frac{1}{630}
\]
2. **б) Две шестёрки.**
- В колоде 36 карт, и в ней есть 4 шестёрки (по одной в каждой масти). Возможные события:
- Способы выбрать 2 шестёрки:
\[
C(4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6
\]
- Вероятность:
\[
P = \frac{6}{630} = \frac{1}{105}
\]
**Ответ:**
- a) Вероятность того, что вытащат даму треф и валета пик: \(\frac{1}{630}\).
- б) Вероятность того, что вытащат 2 шестёрки: \(\frac{1}{105}\).
---
### Задача 5
**Случайным образом одновременно выбирают две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что обе они согласные?**
**Решение:**
1. В русском алфавите 33 буквы, из них 21 — согласные.
2. Способы выбрать 2 согласные буквы:
\[
C(21, 2) = \frac{21 \cdot 20}{2} = 210
\]
3. Всего способов выбрать 2 буквы из 33:
\[
C(33, 2) = \frac{33 \cdot 32}{2} = 528
\]
4. Вероятность того, что обе буквы согласные:
\[
P = \frac{210}{528} = \frac{35}{88}
\]
**Ответ:** Вероятность того, что обе буквы согласные, составляет \(\frac{35}{88}\).
