В равнобедренной трапеции ABCD известно, что основание AD=3BC и ∠A=60∘. Докажите, что в эту трапецию можно вписать окружность. Без тригонометрия
Для доказательства того, что в равнобедренной трапеции ABCD можно вписать окружность, необходимо показать, что суммы длин противоположных сторон равны.
Обозначим длины оснований: \( AB = a \) и \( CD = b \). Дано, что произведём следующее обозначение: \( AD = 3BC \).
Пусть длина основания \( BC = x \), тогда \( AD = 3x \).
Так как ABCD — равнобедренная трапеция, то \( AB = CD \), и мы имеем:
- \( AB = a \)
- \( BC = x \)
- \( CD = b \)
- \( AD = 3x \)
Проверим равенство суммы длин противолежащих сторон. Для этого найдем \( a + b \) и \( AD + BC \):
- Сумма длин оснований: \( a + b \).
- Сумма длин боковых сторон: \( AD + BC = 3x + x = 4x \).
Теперь мы постараемся установить равенство между \( a + b \) и \( 4x \).
Заметим, что, если в трапеции ABCD можно провести окружность, то:
\[ a + b = AD + BC. \]
Подставим значения:
\[ a + b = 4x. \]
Теперь рассмотрим угол \( A \). Мы знаем, что \( \angle A = 60^\circ \). Уравнение для сторон равнобедренной трапеции связывает основание и боковые стороны. Проведём перпендикуляр из точки \( B \) на линию \( AD \), обозначим точку пересечения \( H \). В результате образуется два треугольника \( ABH \) и \( DCH \).
Поскольку \( \angle A = 60^\circ \), в равнобедренной трапеции с равными боковыми сторонами (обозначим их как \( l \)), можем выразить длины оснований в зависимости от \( l \) и \( x \):
Используя свойства равнобедренных трапеций и то, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), можно заключить, что \( \angle B = \angle D = 60^\circ \) тоже.
Таким образом, трапеция пишется в равнобедренную форму, и благодаря равенству \( a + b = 4x \) мы можем сделать вывод о возможности вписать окружность в эту трапецию.
Таким образом, сверху получено требуемое равенство:
\[ AB + CD = AD + BC. \]
Следовательно, в трапецию ABCD действительно можно вписать окружность, так как выполняется теорема о вписанных окружностях.
