Один из катетов прямоугольного треугольника на 3см меньше другого,а гипотенуза равна 13√5см. Найдите катеты этого треугольника

Решим задачу, обозначив катеты прямоугольного треугольника через переменные. 1. Пусть один катет равен \( x \) см. Тогда другой катет, согласно условию, будет равен \( x - 3 \) см. 2. Мы знаем, что гипотенуза треугольника равна \( 13\sqrt{5} \) см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника справедливо следующее отношение: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( a \) и \( b \) — это катеты, а \( c \) — гипотенуза. 3. Подставим наши обозначения в формулу: \[ x^2 + (x - 3)^2 = (13\sqrt{5})^2 \] 4. Посчитаем квадрат гипотенузы: \[ (13\sqrt{5})^2 = 169 \cdot 5 = 845 \] 5. Теперь подставим это значение в уравнение: \[ x^2 + (x - 3)^2 = 845 \] 6. Раскроем скобки в левом уравнении: \[ x^2 + (x^2 - 6x + 9) = 845 \] Это можно упростить: \[ 2x^2 - 6x + 9 = 845 \] 7. Переносим все на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 2x^2 - 6x + 9 - 845 = 0 \] \[ 2x^2 - 6x - 836 = 0 \] 8. Упрощаем уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \[ x^2 - 3x - 418 = 0 \] 9. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -418 \). 10. Сначала вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-418) = 9 + 1672 = 1681 \] 11. Находим корень из дискриминанта: \[ \sqrt{1681} = 41 \] 12. Теперь подставляем значения в формулу: \[ x = \frac{-(-3) \pm 41}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 41}{2} \] 13. У нас есть два решения: \[ x_1 = \frac{44}{2} = 22 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-38}{2} = -19 \] Отрицательное значение нам не подходит, поэтому \( x = 22 \) см. 14. Теперь находим второй катет: \[ x - 3 = 22 - 3 = 19 \quad \text{см} \] Итак, катеты прямоугольного треугольника равны: - Один катет: \( 22 \) см - Другой катет: \( 19 \) см Таким образом, ответ: катеты треугольника равны \( 22 \) см и \( 19 \) см.