Давайте решим обе задачи по очереди.
Задача 1: Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии (an), если ( a_1 = 3 ), ( d = 2 ).
Шаг 1: Определим формулу общего члена арифметической прогрессии.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
где:
- ( a_n ) — n-й член,
- ( a_1 ) — первый член,
- ( d ) — разность прогрессии,
- ( n ) — номер члена.
Подставим известные значения для нахождения 12-го члена:
[
a_{12} = 3 + (12 - 1) \cdot 2 = 3 + 11 \cdot 2 = 3 + 22 = 25
]
Шаг 2: Найдем сумму первых 12 членов.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
где:
- ( S_n ) — сумма первых n членов.
Подставим ( n = 12 ), ( a_1 = 3 ) и ( a_{12} = 25 ):
[
S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (3 + 25) = 6 \cdot 28 = 168
]
Ответ: Сумма первых 12 членов арифметической прогрессии равна 168.
Задача 2: Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии -3, -2, -1...
Шаг 1: Определим первый член и разность.
В этой прогрессии:
- ( a_1 = -3 ) (первый член),
- ( d = -2 - (-3) = 1 ) (разность, так как каждый следующий член больше предыдущего на 1).
Шаг 2: Найдем 20-й член прогрессии.
Подставим в формулу для n-го члена:
[
a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot d = -3 + 19 \cdot 1 = -3 + 19 = 16
]
Шаг 3: Найдем сумму первых 20 членов.
Используем формулу суммы:
[
S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (a_1 + a_{20}) = 10 \cdot (-3 + 16) = 10 \cdot 13 = 130
]
Ответ: Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 130.
Таким образом, мы разобрали обе задачи с подробными пошаговыми объяснениями.
