Реши
Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \), необходимо выяснить, при каких значениях \( x \) подкоренное выражение \( x^2 - 4x + 3 \) неотрицательно, то есть:
\[ x^2 - 4x + 3 \geq 0 \]
Рассмотрим это неравенство.
Найдем корни квадратного уравнения:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \).
\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Таким образом, корни:
\[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]
Определяем знаки:
Квадратный трехчлен \( x^2 - 4x + 3 \) меняет знаки в этих точках. Разобьем числовую ось на промежутки (-∞; 1), (1; 3), и (3; ∞) и определим знаки на каждом:
- На промежутке \((-∞; 1)\) и \((3; ∞)\), выражение положительно, так как \( a = 1 \) и парабола направлена вверх.
- На промежутке \((1; 3)\), выражение отрицательно.
Записываем ответ:
Таким образом, область определения функции \( f(x) \) будет:
\[ (-∞; 1] \cup [3; ∞) \]
Это соответствует варианту ответа:
\[ x \leq 1, x \geq 3 \]
Проверим варианты и увидим, что правильный ответ:
\[ x \leq 1, x \geq 3 \]
