Решить систему уравнений x²-xy=-3, y²-xy=4

Решим систему уравнений: 1) \( x^2 - xy = -3 \) 2) \( y^2 - xy = 4 \) Для начала, давайте выразим \( xy \) из первого уравнения: \[ xy = x^2 + 3 \] Теперь подставим это значение в второе уравнение: \[ y^2 - (x^2 + 3) = 4 \] Упрощаем: \[ y^2 - x^2 - 3 = 4 \] \[ y^2 - x^2 = 7 \] Теперь давайте вспомним, что наше уравнение \( y^2 - x^2 \) можно разложить на множители: \[ (y - x)(y + x) = 7 \] Теперь у нас есть два множителя, которые перемножаются в 7. Мы можем рассмотреть возможные варианты: 1) \( y - x = 1 \) и \( y + x = 7 \) 2) \( y - x = 7 \) и \( y + x = 1 \) 3) \( y - x = -1 \) и \( y + x = -7 \) 4) \( y - x = -7 \) и \( y + x = -1 \) Начнем с первого случая: ### Случай 1: \( y - x = 1 \) и \( y + x = 7 \) Сложим два уравнения: \[ (y - x) + (y + x) = 1 + 7 \] \[ 2y = 8 \implies y = 4 \] Теперь подставим значение \( y \) в одно из уравнений, например в \( y - x = 1 \): \[ 4 - x = 1 \implies x = 3 \] Таким образом, первое решение: \( (x, y) = (3, 4) \). ### Случай 2: \( y - x = 7 \) и \( y + x = 1 \) Сложим опять: \[ (y - x) + (y + x) = 7 + 1 \] \[ 2y = 8 \implies y = 4 \] Подставим значение \( y \) в одно из уравнений, например в \( y + x = 1 \): \[ 4 + x = 1 \implies x = -3 \] Так что второе решение: \( (x, y) = (-3, 4) \). ### Случай 3: \( y - x = -1 \) и \( y + x = -7 \) Сложим: \[ (y - x) + (y + x) = -1 - 7 \] \[ 2y = -8 \implies y = -4 \] Подставим значение \( y \) в одно из уравнений, например в \( y - x = -1 \): \[ -4 - x = -1 \implies x = -3 \] Таким образом, третье решение: \( (x, y) = (-3, -4) \). ### Случай 4: \( y - x = -7 \) и \( y + x = -1 \) Сложим: \[ (y - x) + (y + x) = -7 - 1 \] \[ 2y = -8 \implies y = -4 \] Подставим значение \( y \) в первое уравнение: \[ -4 - x = -7 \implies x = -3 \] Решение совпадает с предыдущим: \( (x, y) = (-3, -4) \). ### Итоги: 1. \( (x, y) = (3, 4) \) 2. \( (x, y) = (-3, 4) \) 3. \( (x, y) = (-3, -4) \) Все возможные решения для системы уравнений: \[ (3, 4), (-3, 4), (-3, -4) \] Если вам нужно объяснить что-то более конкретное или подробнее, не стесняйтесь спрашивать!