Решить систему уравнений x²-xy=-3, y²-xy=4

Решим систему уравнений:

1. \( x^2 - xy = -3 \)
2. \( y^2 - xy = 4 \)

Для начала, давайте выразим \( xy \) из первого уравнения:

\[ xy = x^2 + 3 \]

Теперь подставим это значение в второе уравнение:

\[ y^2 - (x^2 + 3) = 4 \]

Упрощаем:

\[ y^2 - x^2 - 3 = 4 \]

\[ y^2 - x^2 = 7 \]

Теперь давайте вспомним, что наше уравнение \( y^2 - x^2 \) можно разложить на множители:

\[ (y - x)(y + x) = 7 \]

Теперь у нас есть два множителя, которые перемножаются в 7. Мы можем рассмотреть возможные варианты:

1. \( y - x = 1 \) и \( y + x = 7 \)
2. \( y - x = 7 \) и \( y + x = 1 \)
3. \( y - x = -1 \) и \( y + x = -7 \)
4. \( y - x = -7 \) и \( y + x = -1 \)

Начнем с первого случая:

Случай 1: \( y - x = 1 \) и \( y + x = 7 \)

Сложим два уравнения:

\[ (y - x) + (y + x) = 1 + 7 \]
\[ 2y = 8 \implies y = 4 \]

Теперь подставим значение \( y \) в одно из уравнений, например в \( y - x = 1 \):

\[ 4 - x = 1 \implies x = 3 \]

Таким образом, первое решение: \( (x, y) = (3, 4) \).

Случай 2: \( y - x = 7 \) и \( y + x = 1 \)

Сложим опять:

\[ (y - x) + (y + x) = 7 + 1 \]
\[ 2y = 8 \implies y = 4 \]

Подставим значение \( y \) в одно из уравнений, например в \( y + x = 1 \):

\[ 4 + x = 1 \implies x = -3 \]

Так что второе решение: \( (x, y) = (-3, 4) \).

Случай 3: \( y - x = -1 \) и \( y + x = -7 \)

Сложим:

\[ (y - x) + (y + x) = -1 - 7 \]
\[ 2y = -8 \implies y = -4 \]

Подставим значение \( y \) в одно из уравнений, например в \( y - x = -1 \):

\[ -4 - x = -1 \implies x = -3 \]

Таким образом, третье решение: \( (x, y) = (-3, -4) \).

Случай 4: \( y - x = -7 \) и \( y + x = -1 \)

Сложим:

\[ (y - x) + (y + x) = -7 - 1 \]
\[ 2y = -8 \implies y = -4 \]

Подставим значение \( y \) в первое уравнение:

\[ -4 - x = -7 \implies x = -3 \]

Решение совпадает с предыдущим: \( (x, y) = (-3, -4) \).

Итоги:

1. \( (x, y) = (3, 4) \)
2. \( (x, y) = (-3, 4) \)
3. \( (x, y) = (-3, -4) \)

Все возможные решения для системы уравнений:

\[ (3, 4), (-3, 4), (-3, -4) \]

Если вам нужно объяснить что-то более конкретное или подробнее, не стесняйтесь спрашивать!