1°. Решите уравнение: a) - 2x ^ 2 + x + 1 = 0 6) 3x² = 12x; в) 9 - 16y ^ 2 = 0 r) y ^ 2 + 8y + 15 = 0 2. Периметр прямоугольника равен 114 м, а его площадь 740 м². Найдите длины…

Давайте решим шаг за шагом все предложенные задачи.

1. Решение уравнений

a) \(-2x^2 + x + 1 = 0\)

1. Приведем уравнение к стандартному виду:
   Умножим на \(-1\) для упрощения:
   \(2x^2 - x - 1 = 0\)

2. Найдем дискриминант:
   Формула для дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\)
   Здесь: \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\)
   \(D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9\)

3. Решим уравнение по формуле корней:
   \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{1 \pm 3}}{{4}}\)
   Таким образом:
   \(x_1 = \frac{{4}}{4} = 1\)
   \(x_2 = \frac{{-2}}{4} = -0.5\)
   Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -0.5\)

6) \(3x^2 = 12x\)

1. Переносим все в одну сторону:
   \(3x^2 - 12x = 0\)

2. Факторизуем:
   \(3x(x - 4) = 0\)

3. Находим корни:
   \(3x = 0 \Rightarrow x = 0\)
   \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
   Корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\)

в) \(9 - 16y^2 = 0\)

1. Переносим \(16y^2\) в другую сторону:
   \(16y^2 = 9\)

2. Делим на 16:
   \(y^2 = \frac{9}{16}\)

3. Извлекаем корень:
   \(y = \pm \frac{3}{4}\)
   Корни: \(y_1 = \frac{3}{4}\), \(y_2 = -\frac{3}{4}\)

r) \(y^2 + 8y + 15 = 0\)

1. Найдем дискриминант:
   \(D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\)

2. Решаем уравнение:
   \(y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-8 \pm 2}}{{2}} = \frac{{-6}}{{2}} \text{ или } \frac{{-10}}{{2}} = -3 \text{ или } -5\)
   Корни: \(y_1 = -3\), \(y_2 = -5\)

2. Периметр и площадь прямоугольника

Обозначим длину прямоугольника как \(l\), ширину как \(w\).

1. Систему уравнений:
   Периметр: \(2(l + w) = 114 \Rightarrow l + w = 57\)
   Площадь: \(lw = 740\)

2. Выразим \(w\) через \(l\):
   \(w = 57 - l\)

3. Подставим в уравнение площади:
   \(l(57 - l) = 740\)
   \(57l - l^2 = 740\)
   \(l^2 - 57l + 740 = 0\)

4. Найдем дискриминант:
   \(D = (-57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 740 = 3249 - 2960 = 289\)

5. Решим уравнение:
   \(l = \frac{{57 \pm \sqrt{289}}}{2} = \frac{{57 \pm 17}}{2}\)
   Таким образом:
   \(l_1 = \frac{74}{2} = 37\)
   \(l_2 = \frac{40}{2} = 20\)

6. Получаем стороны:
   Если \(l = 37\), \(w = 20\);
   Если \(l = 20\), \(w = 37\).
   Длины сторон: \(20 \text{ м} и 37 \text{ м}\)

3. Уравнение \(x^2 + px + 18 = 0\)

1. Одним из корней является \(-6\):
   Если один корень \(x_1 = -6\), подставляем его в уравнение:
   \((-6)^2 + p(-6) + 18 = 0\)
   \(36 - 6p + 18 = 0\)

2. Решим это уравнение:
   \(54 - 6p = 0 \Rightarrow 6p = 54 \Rightarrow p = 9\)

3. Найдем другой корень, используя сумму корней:
   Сумма корней \(x_1 + x_2 = -p = -9\)
   \(-6 + x_2 = -9 \Rightarrow x_2 = -3\)
   Другой корень: \(-3\), коэффициент \(p\) равен \(9\).

Если у вас будут дополнительные вопросы по решениям, не стесняйтесь спрашивать!