решите задачу
Давайте разберёмся с вашей задачей по порядку.
Дано квадратное уравнение:
\[ x^2 - 12x + 24 = 0 \]
- Найдём корни уравнения.
Для решения уравнения можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = 24 \).
Подставим значения в формулу дискриминанта (\( D \)):
\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \times 1 \times 24 = 144 - 96 = 48 \]
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:
\[ x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} \]
Упростим \(\sqrt{48}\):
\[ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \]
Теперь найдём корни:
\[ x_1 = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{2} = 6 + 2\sqrt{3} \]
\[ x_2 = \frac{12 - 4\sqrt{3}}{2} = 6 - 2\sqrt{3} \]
- Чему равно численное значение выражения \(x_1 \cdot x_2\)?
Здесь используется свойство корней квадратного уравнения: произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).
В нашем случае:
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{24}{1} = 24 \]
- Чему равно численное значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\)?
Используем формулу:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \]
Мы знаем, что сумма корней:
\[ x_1 + x_2 = 12 \]
Тогда:
\[ x_1^2 + x_2^2 = 12^2 - 2 \times 24 = 144 - 48 = 96 \]
Таким образом, ответ на вторую часть - \(96\).
Если у вас есть ещё вопросы, дайте знать!
