корень из икс в степени корень из икс ровно икс в степени икс

Чтобы решить уравнение \( \sqrt{x}^{\sqrt{x}} = x^x \), разберём его шаг за шагом.

Шаг 1: Перепишем выражения

Сначала выразим все члены в более удобной форме:

1. \( \sqrt{x} = x^{1/2} \), следовательно, \( \sqrt{x}^{\sqrt{x}} = (x^{1/2})^{\sqrt{x}} = x^{(1/2) \cdot \sqrt{x}} \).
2. Теперь у нас есть выражение: \[ x^{(1/2) \cdot \sqrt{x}} = x^x. \]

Шаг 2: Поставим равенство

Раз так получилось, что привели обе части уравнения к степенной форме с основанием \( x \), можем приравнять их показатели (при условии, что \( x > 0 \)): \[ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} = x. \]

Шаг 3: Перепишем уравнение

Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{\sqrt{x}}{2} = x. \] Умножим обе стороны на 2 (чтобы избавиться от дроби): \[ \sqrt{x} = 2x. \]

Шаг 4: Убираем корень

Возведём обе стороны уравнения в квадрат: \[ x = (2x)^2. \] Это даёт нам: \[ x = 4x^2. \]

Шаг 5: Соберём уравнение

Переносим все на одну сторону: \[ 4x^2 - x = 0. \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(4x - 1) = 0. \]

Шаг 6: Находим корни

Теперь назначим каждую часть в скобках равной нулю:

1. \( x = 0 \)
2. \( 4x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \).

Шаг 7: Проверка

Проверим, подходят ли найденные корни к исходному уравнению:

• Для \( x = 0 \):

  • \(\sqrt{0}^{\sqrt{0}} = 0^0\) (неопределённость).

• Для \( x = \frac{1}{4} \):

  • Левую часть: \[ \sqrt{\frac{1}{4}}^{\sqrt{\frac{1}{4}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]
  • Правую часть: \[ \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(4^{-1}\right)^{\frac{1}{4}} = 4^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Обе стороны равны, следовательно, \( x = \frac{1}{4} \) подходит.

Ответ

Итак, уравнение \( \sqrt{x}^{\sqrt{x}} = x^x \) имеет решение: \[ x = \frac{1}{4}. \]