Для точки ( P \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ) на единичной окружности, мы можем определить значения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса.
Шаг 1: Понимание единичной окружности
Единичная окружность — это окружность радиуса 1, центрированная в начале координат (0, 0). Любая точка ( P(x, y) ) на этой окружности удовлетворяет уравнению:
[
x^2 + y^2 = 1
]
Шаг 2: Определение координат
Для точки ( P \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ):
- ( x = \frac{\sqrt{2}}{2} )
- ( y = \frac{\sqrt{2}}{2} )
Шаг 3: Значения тригонометрических функций
Синус:
Синус угла (в данном контексте — угла, соответствующего данной точке на окружности) равен значению ( y ) её координаты.
[
\sin(\theta) = y = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Косинус:
Косинус угла равен значению ( x ) её координаты.
[
\cos(\theta) = x = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Тангенс:
Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу. Это подразумевает:
[
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1
]
Шаг 4: Проверка
Величины синуса и косинуса ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) соответствуют углам в ( 45^{\circ} ) или ( \frac{\pi}{4} ) радиан, так как в этом угле тригонометрические функции имеют одинаковые значения.
Результаты
Таким образом, для точки ( P \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ) мы получили:
- ( \sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} )
- ( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} )
- ( \tan(\theta) = 1 )
Эти значения позволяют понять, как тригонометрические функции связаны с координатами точек на единичной окружности.
